- LG a
- LG b
Giải các hệ phương trình:
LG a
\[\left\{ \begin{array}{l}
2\sqrt {x - 1} - \sqrt {y - 1} = 1\\
\sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 1} = 2
\end{array} \right.\]
Phương pháp giải:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x - 1} \,\\v = \sqrt {y - 1} \end{array} \right.\,\left[ {u,v \ge 0} \right]\] để tìm \[u,v\] từ đó thay lại cách đặt để tìm \[x;y.\]
Giải chi tiết:
Điều kiện: \[x \ge 1;y \ge 1\]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x - 1} \,\\v = \sqrt {y - 1} \end{array} \right.\,\left[ {u,v \ge 0} \right]\] ta có hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}2u - v = 1\\u + v = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 1\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} = 1\\\sqrt {y - 1} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\left[ {TM} \right]\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {2;2} \right]\]
LG b
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {x - 1} \right]^2} - 2y = 2\\
3{\left[ {x - 1} \right]^2} + 3y = 1
\end{array} \right.\]
Phương pháp giải:
Đặt \[u = {\left[ {x - 1} \right]^2}\,\left[ {u \ge 0} \right]\]
Giải chi tiết:
Đặt \[u = {\left[ {x - 1} \right]^2}\,\left[ {u \ge 0} \right]\] ta có hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}u - 2y = 2\\3u + 3y = 1\end{array} \right. \]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u - 6y = 6\\3u + 3y = 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9y = 5\\3u + 3y = 1\end{array} \right. \]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{5}{9}\\3u + 3.\left[ { - \dfrac{5}{9}} \right] = 1\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{8}{9} [tm]\\y = -\dfrac{5}{9}\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \pm \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\\
y = - \dfrac{5}{9}
\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm \[\left[ {1 + \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}; - \dfrac{5}{9}} \right];\left[ {1 - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}; - \dfrac{5}{9}} \right]\].
Chú ý:
Với \[u = \dfrac{8}{9} \Rightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} = \dfrac{8}{9} \]\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\\x - 1 = - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right. \]\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\\x = 1 - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right.\]