Đề bài
Hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thoi cạnh \[a\] và có góc \[\widehat{ BAD} = 60^0\]. Gọi \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng [ABCD] và \[SO = {{3a} \over 4}\]. Gọi \[E\] là trung điểm của đoạn \[BC\] và \[F\] là trung điểm của đoạn \[BE\].
a] Chứng minh mặt phẳng \[ [SOF]\] vuông góc với mặt phẳng \[[SBC]\]
b] Tính các khoảng cách từ \[O\] và \[A\] đến mặt phẳng \[[SBC]\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh\[BC \bot \left[ {SOF} \right]\].
b] Dựng và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng \[[SBC]\]. Chứng minh\[d\left[ {A;\left[ {SBC} \right]} \right] = 2d\left[ {O;\left[ {SBC} \right]} \right]\].
Lời giải chi tiết
a] Theo giả thiết\[\widehat{ BAD} = 60^0\] nên theo tính chất của hình thoi\[\widehat{ BCD} = 60^0\] hay tam giác \[BDC\] đều.
\[\Rightarrow BD = a \Rightarrow BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a}{2}\]; \[BE = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}\]
Xét tam giác \[BOE\] có \[BO=BE=\dfrac{{a}}{2}\] và\[\widehat{ OBE} = 60^0\] nên tam giác \[BOE\] đều
Do đó \[OF\] là đường cao và ta được \[OF BC\].
\[\left\{ \begin{array}{l}
SO \bot \left[ {ABCD} \right] \Rightarrow BC \bot SO\\
BC \bot OF
\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow BC \bot \left[ {SOF} \right]\]
Mà \[BC [SBC]\Rightarrow [SOF] [SBC]\]
b] Kẻ \[OH \bot SF\]
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left[ {SOF} \right] \bot \left[ {SBC} \right]\\
\left[ {SOF} \right] \cap \left[ {SBC} \right] = SF\\
OH \bot SF\\
OH \subset \left[ {SOF} \right]
\end{array} \right.\\
\Rightarrow OH \bot \left[ {SBC} \right]\\
\Rightarrow d\left[ {O,\left[ {SBC} \right]} \right] = OH
\end{array}\]
Ta có:
Tam giác \[OBF\] vuông tại \[F\] nên \[OF = \sqrt {O{B^2} - B{F^2}} \] \[= \sqrt {{{\left[ {\dfrac{a}{2}} \right]}^2} - {{\left[ {\dfrac{a}{4}} \right]}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\]
Tam giác \[SOF\] vuông tại \[O\] có \[\begin{array}{l}SO = \dfrac{{3a}}{4};\,\,OF = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow SF = \sqrt {S{O^2} + O{F^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\OH.SF = SO.OF \Rightarrow OH = \dfrac{{SO.OF}}{{SF}} = \dfrac{{3a}}{8}\end{array}\]
Gọi \[K\] là hình chiếu của \[A\] trên \[[SBC]\], ta có \[AK//OH\]
Trong \[ΔAKC\] thì \[OH\] là đường trung bình, do đó: \[AK = 2OH \Rightarrow AK =\dfrac{{3a}}{4}\].
Vậy\[d\left[ {A;\left[ {SBC} \right]} \right] = \dfrac{{3a}}{4}\]