Đề bài
Cho hai đường tròn[O; R] và [O; r] cắt nhau tại A và \[B [R > r]\]. Gọi I là trung điểm của OO. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt cá đường tròn tâm [O; R] và [O; r] theo thứ tự tại C và D [khác A].
a] Chứng minh rằng AC = AD.
b] Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Áp dụng định lí về đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó và định lí về đường trung bình của hình thang.
b] Áp dụng tính chất hai đường tròn cắt nhau và tính chất đường trung bình trong tam giác để chứng minh.
Lời giải chi tiết
a] Vẽ OM AC tại M, ON AD tại N.
Xét đường tròn [O], vì \[\displaystyle OM \bot AC \Rightarrow MA = MC = {{AC} \over 2}\] [định lý đường kính vuông góc với dây]
Xét đường tròn [O'], vì \[\displaystyle ON AD \RightarrowNA = N{\rm{D}} = {{A{\rm{D}}} \over 2}\][định lý đường kính vuông góc với dây]
Mặt khác, ta có \[OM CD, IA CD, ON CD\]
\[ OM // IA //ON.\]
Suy ra tứ giác OMNO' là hình thang.
Hình thang OMNO có \[IA // OM//O'N; IO = IO\] nên \[MA = NA\] [đường thẳng song song với hai đáy của hình thang và đi qua trung điểm 1 cạnh bên thì đi qua trung điểm cạnh bên còn lại]
Do vậy \[2.MA=2.NA\] hay \[AC = AD.\]
b] Ta có [O] và [O] cắt nhau tại A, B
OO là đường trung trực của đoạn thẳng AB [tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau]
\[ IA = IB\] [tính chất đường trung trực của đoạn thẳng]
Mặt khác \[IA = IK\] [ vì K đối xứng với A qua I]
Do đó: \[IA = IB = IK\]
Ta có KBA có BI là đường trung tuyến và \[\displaystyle BI = {{AK} \over 2}\]nên KBA vuông tại B
\[ KB AB\]