Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Cho hàm số: \[y = -x^4+2mx^2-2m + 1\] [ \[m\] là tham số] có đồ thị \[[C_m].\]
LG a
a] Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
Phương pháp giải:
Số cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình: \[y'=0.\] Biện luận số cực trị của hàm số tức là biện luận số nghiệm của phương trình \[y'=0.\]
Lời giải chi tiết:
\[y = -x^4+2mx^2-2m + 1\]\[[C_m].\]
Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
Ta có: \[y' = -4x^3+4mx = -4x [x^2-m]\]
\[\Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow -4x[x^2-m]=0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right..\]
+] Với \[m 0\] thì \[y\] có một nghiệm \[x = 0\] và đổi dấu \[+\] sang \[\] khi qua nghiệm này.
Do đó hàm số có một điểm cực đại là \[x = 0\]
+] Với \[m>0\] phương trình \[y' = 0\] có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có điểm 3 cực trị.
Do đó, hàm số có 2 điểm cực đại là \[x = ± \sqrt m\] và có một điểm cực tiểu là \[x = 0\].
LG b
b] Với giá trị nào của m thì \[[C_m]\]cắt trục hoành?
Phương pháp giải:
\[[C_m]\] cắt trục hoành \[\Leftrightarrow \] phương trình \[y=f[x]=0\] có nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \[[C_m]\] và trục hoành là:
\[\begin{array}{l}
- {x^4} + 2m{x^2} - 2m + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {{x^4} - 1} \right] - 2m\left[ {{x^2} - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {{x^2} + 1} \right] - 2m\left[ {{x^2} - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {{x^2} - 2m + 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 1 = 0\\
{x^2} - 2m + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pm 1\\
{x^2} = 2m - 1
\end{array} \right..
\end{array}\]
Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm luôn có nghiệm \[x = ± 1\] với mọi m nên \[[C_m]\]luôn cắt trục hoành.
Cách khác:
Xét \[m 0\], phương trình \[y = 0\] có nghiệm duy nhất \[x = 0.\]
Ta có bảng biến thiên :
\[[Cm]\] cắt trục hoành \[ 1 2m 0\]
\[ m \frac{1}{2}\]
Kết hợp \[m 0\] ta được \[m 0\] [1]
- Xét \[m > 0\], phương trình \[y = 0\] có 3 nghiệm 0 ;\[ \pm \sqrt m \]
Ta có bảng biến thiên :
\[[C_m]\]cắt trục hoành\[ \Leftrightarrow {[m - 1]^2} = 0 \Leftrightarrow m \ne 1\]
Kết hợp với \[m > 0\] ta được \[m > 0\] [2]
Kết hợp [1] và [2] suy ra \[[C_m]\]cắt trục hoành với mọi \[m R.\]
LG c
c] Xác định m để \[[C_m]\]có cực đại, cực tiểu.
Phương pháp giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu\[\Leftrightarrow \] phương trình \[y'=f'[x]=0\] có 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Theo lời giải câu a, ta thấy ngay: với \[m > 0\] thì đồ thị \[[C_m]\]có cực đại và cực tiểu.