Đề bài
Hình thang cân \[ABCD\] \[[AB// CD]\] có hai đường chéo cắt nhau tại \[I,\] hai đường thẳng chứa các cạnh bên cắt nhau ở \[K.\] Chứng minh rằng \[KI\] là đường trung trực của hai đáy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
+] Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
+] Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đi qua đỉnh của tam giác đó.
Lời giải chi tiết
Vì ABCD là hình thang cân nên:
\[\eqalign{
& \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\cr
& \Rightarrow \widehat {KDC} = \widehat {KCD} \cr} \]
\[ KCD\] cân tại \[K\]
\[ KD = KC\] [tính chất]
\[ KA + AD = KB + BC\]
Mà \[AD = BC\] [tính chất hình thang cân]
\[ KA = KB\]
Xét \[ ADC\] và \[ BCD \] có:
\[AD = BC\] [chứng minh trên]
\[AC = BD\] [tính chất hình thang cân]
\[CD\] cạnh chung
Do đó: \[ ADC = BCD\;\;\; [c.c.c]\]
\[ \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\]
\[ IDC\] cân tại \[I\]
\[ IC = ID\] nên \[I\] thuộc đường trung trực của \[CD\]
\[KC = KD\] nên \[K\] thuộc đường trung trực của \[CD\]
\[K I.\] Vậy \[KI\] là đường trung trực của \[CD.\]
Lại có: \[BD = AC\] [tính chất hình thang cân]
\[ IB + ID = IA + IC\] mà \[ID = IC\] [chứng minh trên]
\[ IB = IA\] nên \[I\] thuộc đường trung trực \[AB\]
\[ KA = KB\] [ chứng minh trên] nên \[K\] thuộc đường trung trực \[AB\]
\[K I.\] Vậy \[KI\] là đường trung trực của \[AB.\]