Câu 47 trang 219 sgk đại số và giải tích 11 nâng cao
\(\begin{array}{l}{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left( {{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right)} \right)' = {2^{4k}}\sin 2x\\{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 2}}\sin 2x\\{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 3}}\cos 2x\\= - {2^{4\left( {k + 1} \right) - 1}}\cos 2x\end{array}\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
LG a Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan x.\) Tính \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) với n = 1, 2, 3. Phương pháp giải: Sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\tan x} \right)' = 1 + {\tan ^2}x\) Lời giải chi tiết: f(x) = 1 + tan2x f(x) = 2tanx(1 + tan2x) = 2tanx + 2tan3x f(3)(x) = 2(1 + tan2x) + 2.3tan2x(1 + tan2x) = 2+ 2tan2x + 6tan2x+ 6tan4x = 2+ 8tan2x+ 6tan4x LG b Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4n - 1}}\cos 2x\) Phương pháp giải: Chứng minh bằng phương pháp qui nạp. Lời giải chi tiết: \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4n - 1}}\cos 2x\) (1) Với n = 1 ta có: \(\begin{array}{l} Vậy (1) đúng với n = 1 Giả sử (1) đúng với n = k tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k - 1}}\cos 2x\) Với n = k + 1 ta có : \(\begin{array}{l} Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.
|