Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tính các giới hạn sau:
LG a
\[\lim[{n^3} + {\rm{ }}2{n^2}-{\rm{ }}n{\rm{ }} + {\rm{ }}1]\];
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí 2c trang 119 SGK:
Nếu \[\lim u_n=+\] và \[\lim v_n=a > 0\] thì \[\lim [u_n.v_n]=+\].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\lim \left[ {{n^3} + 2{n^2} - n + 1} \right] \\= \lim {n^3}\left[ {1 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right]
\end{array}\]
Vì \[\lim {n^3} = + \infty \] và
\[\lim \left[ {1 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right] \]
\[ = 1 + \lim \dfrac{2}{n} - \lim \dfrac{1}{{{n^2}}} + \lim \dfrac{1}{{{n^3}}}\]
\[=1>0\]
\[\Rightarrow \lim \left[ {{n^3} + 2{n^2} - n + 1} \right] = + \infty \]
LG b
\[\lim{\rm{ }}[ - {n^2} + {\rm{ }}5n{\rm{ }}-{\rm{ }}2]\];
Phương pháp giải:
Sử dụng hệ quả suy ra từ định lí 2c trang 119 SGK:
Nếu \[\lim u_n= +\] và \[\lim v_n=a < 0\] thì \[\lim [u_n.v_n]= -\].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\lim \left[ { - {n^2} + 5n - 2} \right] \\= \lim {n^2}\left[ { - 1 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right]
\end{array}\]
Vì \[\lim {n^2} = + \infty \] và
\[\lim \left[ { - 1 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right] \]
\[ = - 1 + \lim \dfrac{5}{n} - \lim \dfrac{2}{{{n^2}}}\]
\[=-1 0\] thì \[\lim [u_n.v_n]=+\].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\,\,\lim \left[ {\sqrt {{n^2} - n} + n} \right] \\= \lim \left[ {\sqrt {{n^2}\left[ {1 - \frac{1}{n}} \right]} + n} \right] \\= \lim \left[ {n\sqrt {1 - \frac{1}{n}} + n} \right]\\= \lim n\left[ {\sqrt {1 - \dfrac{1}{n}} + 1} \right]\\
\lim n = + \infty \\
\lim \left[ {\sqrt {1 - \dfrac{1}{n}} + 1} \right] =1+1= 2 > 0\\
\Rightarrow \lim \left[ {\sqrt {{n^2} - n} + n} \right] = + \infty
\end{array}\]