Đề bài
Cho hình tứ diện \[ABCD\]
a] Chứng minh rằng: \[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0.\]
b] Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện \[ABCD\] có \[AB CD\] và \[AC DB\] thì \[AD BC\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng quy tắc ba điểm.
Lời giải chi tiết
a]\[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.[\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}]\]
\[\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}.[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}]\]
\[\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.[\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}].\]
Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được:
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \]
\[ = \overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right]\] \[ + \overrightarrow {AC} .\left[ {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right]\] \[ + \overrightarrow {AD} \left[ {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right]\]
\[ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \] \[ + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \] \[ + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \]
\[ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \] \[ + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \] \[ + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \]
\[ = 0 + 0 + 0 = 0 \]
b] \[AB CD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0,\]
\[AC DB \Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=0\]
Từ đẳng thức câu a ta có:
\[\Rightarrow\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow AD BC\].