Đề bài
Cho hình bình hành \[ABCD\] có \[AB = a, BC = b ,BD = m\], và \[AC = n\]. Chứng minh rằng :
$${m^2} + {n^2} = 2[{a^2} + {b^2}]$$
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Công thức đường trung tuyến: \[ m_a^2=\frac{2[b^2+c^2]-a^2}{4}.\]
Lời giải chi tiết
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.
Tam giác ABD có AO là đường trung tuyến.
Áp dụng định lí về đường trung tuyến:
\[A{O^2} = \frac{{2\left[ {A{B^2} + A{D^2}} \right] - B{D^2}}}{4}\]
Mà O là trung điểm AC nên \[AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{n}{2}\]
Thay \[OA = \frac{n}{2}, \, AB = a,\] \[AD = BC = b\] và \[BD = m\] ta được:
\[\begin{array}{l}
{\left[ {\frac{n}{2}} \right]^2} = \frac{{2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] - {m^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow \frac{{{n^2}}}{4} = \frac{{2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] - {m^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow {n^2} = 2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] - {m^2}\\
\Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]
\end{array}\]
Cách 2:
Áp dụng định lý đường trung tuyến cho tam giác ABC có BO là đường trung tuyến ra có:
\[\begin{array}{l}
B{O^2} = \frac{{2\left[ {B{A^2} + B{C^2}} \right] - A{C^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow {\left[ {\frac{m}{2}} \right]^2} = \frac{{2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] - {n^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow \frac{{{m^2}}}{4} = \frac{{2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] - {n^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow {m^2} = 2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] - {n^2}\\
\Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]
\end{array}\]
Cách 3:
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABC có:
\[\begin{array}{l}
A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC\cos \widehat {ABC}\\
\Rightarrow {n^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \widehat {ABC}
\end{array}\]
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABD có:
\[\begin{array}{l}
B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2AB.AD\cos \widehat {BAD}\\
\Rightarrow {m^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \widehat {BAD}
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow {m^2} + {n^2}\\
= \left[ {{a^2} + {b^2}} \right] - 2ab\cos \widehat {ABC}\\
+ \left[ {{a^2} + {b^2}} \right] - 2ab\cos \widehat {BAD}\\
= 2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] - 2ab\left[ {\cos \widehat {ABC} + \cos \widehat {BAD}} \right]
\end{array}\]
Mà \[\widehat {ABC} + \widehat {BAD} = {{180}^0} \] \[ \Rightarrow \cos \widehat {ABC} = - \cos \left[ {{{180}^0} - \widehat {ABC}} \right] \] \[= - \cos \widehat {BAD}\]
\[ \Rightarrow \cos \widehat {ABC} + \cos \widehat {BAD} = 0\]
Vậy \[{m^2} + {n^2} = 2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]\].