Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Cho điểm \[M[1 ; 4 ; 2]\] và mặt phẳng \[[α]: x + y + z -1 = 0\].
LG a
a] Tìm tọa độ điểm \[H\] là hình chiếu vuông góc của điểm \[M\] trên mặt phẳng \[[α]\] ;
Phương pháp giải:
Phương pháp tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng [P].
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với [P].
Bước 2: Gọi\[H = d \cap \left[ P \right]\], tìm tọa độ điểm H. H chính là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng [P].
Lời giải chi tiết:
Xét đường thẳng \[d\] qua \[M\] và \[d [α]\].
Vectơ\[\overrightarrow{n}[1 ; 1 ; 1]\] là vectơ pháp tuyến của \[[α]\] nên\[\overrightarrow{n}\]là vectơ chỉ phương của \[d\].
Phương trình tham số của đường thẳng \[d\] có dạng: \[\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=4+t & \\ z=2+t & \end{matrix}\right.\].
Gọi\[H = d \cap \left[ P \right]\],\[H \in d \Rightarrow H\left[ {1 + t;4 + t;2 + t} \right]\], vì \[H \in \alpha\] nên ta có:
\[1 + t + 4 + t + 2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow 3t + 6 = 0\]
\[\Leftrightarrow t = - 2 \Rightarrow H\left[ { - 1;2;0} \right]\]
LG b
b] Tìm tọa độ điểm \[M'\] đối xứng với \[M\] qua mặt phẳng \[[α]\].
Phương pháp giải:
Điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng [P] nhận H làm trung điểm, vớiH là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng [P]. Tìm tọa độ điểm M'.
Lời giải chi tiết:
Gọi \[M'[x ; y ; z]\] là điểm đối xứng của \[M\] qua mặt phẳng \[[α]\], thì hình chiếu vuông góc \[H\] của \[M\] xuống \[[α]\] chính là trung điểm của \[MM'\].
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = 2.\left[ { - 1} \right] - 1 = - 3\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 2.2 - 4 = 0\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = 2.0 - 2 = - 2\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow M'\left[ { - 3;0; - 2} \right]\]
LG c
c] Tính khoảng cách từ điểm \[M\] đến mặt phẳng \[[α]\].
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm\[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng\[\left[ P \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\]:\[d\left[ {M;\left[ P \right]} \right] = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]
Lời giải chi tiết:
Tính khoảng cách từ điểm \[M\] đến mặt phẳng \[[α]\]
Cách 1: \[d[M,[\alpha ]]=\dfrac{|1+4+2-1|}{\sqrt{1+1+1}}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]
Cách 2: Khoảng cách từ M đến[α] chính là khoảng cách MH: \[d[M,[α] ]= MH\] =\[\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{3}\].