Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm

Từ định lí về dấu tam thức bậc hai chúng ta có thể giải được các phương trình, bất phương trình tích, phương trình chứa căn, giải bất phương trình chứa căn. Đồng thời, từ đó có thể suy ra cách giải bài toán tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc 2 (bất phương trình bậc hai) luôn dương, luôn âm với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\), tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi số thực \(x\), tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm… Đây là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt chương trình Đại số và Giải tích ở cấp THPT.

Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể ủng hộ chúng tôi bằng cách bấm vào các banner quảng cáo hoặc tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513.  Xin cảm ơn!

Để hiểu về các dạng toán tìm điều kiện để phương trình luôn đúng, vô nghiệm… chúng ta cần thành thạo các dạng bài Lý thuyết và bài tập dấu tam thức bậc hai.

✅Xem thêm ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ 2 TOÁN 10 

1. Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

Bài toán 1. Cho tam thức bậc hai \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) >0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R}\).

Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:

• Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
• Khi \( a\ne 0 \), thì \(f(x)\) là một tam thức bậc hai, nên \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) khi và chỉ khi \[\begin{cases} a>0\\ \Delta <0

  \end{cases}\]

Tương tự, chúng ta có các bài toán sau:

Bài toán 2. Cho \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) <0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \).

Cần xét hai trường hợp:

• Kiểm tra khi \( a=0 \).
• Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) tương đương với \[\begin{cases} a<0\\ \Delta <0

  \end{cases}\]

Bài toán 3. Cho \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) \ge 0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \).

Xét hai trường hợp:

• Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
• Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) tương đương với \[\begin{cases} a>0\\ \Delta \le 0

  \end{cases}\]

Bài toán 4. Cho hàm số \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) \le 0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \).

Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:

• Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
• Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) tương đương với \[\begin{cases} a<0\\ \Delta \le 0

  \end{cases}\]

Ví dụ 1. Tìm \(m\) để hàm số \(f(x)=3 x^{2}+ x+m+1>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

Hướng dẫn. Hàm số \(f(x)=3 x^{2}+ x+m+1>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \[\begin{cases} a=3>0\\ \Delta =-12m-11<0

\end{cases} \] Giải hệ này, từ đó tìm được đáp số \( m<\frac{-11}{12} \).