Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức p=a.b có giá trị nguyên lớn nhất
Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = AB\) đạt giá trị nguyên lớn nhất. A \(x = 24\) B \(x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26;\,\,27;\,\,29} \right\}\) C \(x = 26\) D \(x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26} \right\}\) Hướng dẫn Chọn đáp án là: A Phương pháp giải: Tính biểu thức: \(P = AB.\) Biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) tử số chia hết cho mẫu số. Từ đó tìm các giá trị của \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z}\) và tính được các giá trị của \(P\) và kết luận giá trị \(x \in \mathbb{Z}\) để \(P \in \mathbb{Z}\) và đạt giá trị lớn nhất. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 25.\) Ta có: \(P = A.B = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 – x}}.\frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{4}{{25 – x}}.\) \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{4}{{25 – x}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4\,\, \vdots \,\,\left( {25 – x} \right)\) hay \(\left( {25 – x} \right) \in U\left( 4 \right)\) Mà \(U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\} \Rightarrow \left( {25 – x} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\, \pm 4} \right\}.\) Ta có bảng giá trị: \( \Rightarrow \) với \(x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26;\,\,27;\,\,29} \right\}\) thì \(P \in \mathbb{Z}.\) Qua bảng giá trị ta thấy với \(x = 24\) thì \(P = 4\) là số nguyên lớn nhất. Vậy \(x = 24\) thỏa mãn điều kiện bài toán. Chọn A. |