104 lượt xem
Hệ phương trình
Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
A. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
Trong đó x, y là ẩn số, các chữ số a, b, h, k, c, d là các hệ số
- Nếu cặp số [x0; y0] đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ phương trình [*] thì ta gọi [x0; y0] là nghiệm của hệ phương trình [*]
- Giải hệ phương trình [*] ta tìm được tập nghiệm của nó
B. Cách tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bước 1: Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ phương trình theo ẩn m.
Bước 2: Biện luận chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất.
Bước 3: Kết luận.
C. Bài tập tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình
a] Giải hệ phương trình khi m = 2.
b] Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất [x; y] thỏa mãn 2x + y ≤ 3
Hướng dẫn giải
a] Giải hệ phương trình khi m = 2
Thay m = 2 vào hệ phương trình ta được:
Vậy khi m = 2 hệ phương trình có nghiệm [x; y] = [1; 1]
b] Rút y từ phương trình thứ nhất ta được
y = 2 – [m – 1]x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:
3m + 2 – [m – 1]x = m + 1
x = m – 1
Suy ra y = 2[m – 1]2 với mọi m
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất [x; y] = [m – 1; 2 – [m – 1]2]
2x + y = 2[m – 1] + 2 – [m – 1]2 = -m2 + 4m – 1 = 3 – [m – 2]2 ≤ 3 với mọi giá trị của m.
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:
a] Giải hệ phương trình với m = 1
b] Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn giải
a] Giải hệ phương trình khi m = 1
Thay m = 1 vào hệ phương trình ta được:
Vậy khi m = 1 hệ phương trình có nghiệm [x; y] = [-1; -2]
b] Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m = 0 hệ phương trình trở thành
Vậy với m = 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
Do đó, với m ≠ 0 hệ luôn có nghiệm duy nhất.
Vậy hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình
a] Giải hệ phương trình khi m = 2.
b] Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x; y] thỏa mãn
Hướng dẫn giải
a] Học sinh tự giải hệ phương trình.
b] Xét hệ
Từ [2] suy ra y = 2m – mx thay vào [1] ta được
x + m[2m – mx] = m + 1
2m2 – m2x + x = m + 1
[1 – m2]x = -2m2 + m + 1
[m2 – 1]x = 2m2 – m – 1 [3]
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
[3] có nghiệm duy nhất
m2 – 1 ≠ 0 => m ≠ ± 1 [*]
Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất là
-----------------------------------------------------
Hy vọng tài liệu Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!
Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:
- Luyện tập Toán 9
- Giải bài tập SGK Toán 9
- Đề thi giữa học kì môn Toán 9
Phương trình bậc nhất một ẩn...............
Phương trình bậc nhất một ẩn...............
Phương trình bậc nhất một ẩn
I . Lí thuyết:
1 . Mở đầu về phương trình :
Phương trình một ẩn là phương trình có dạng P[x] = Q[x] [ x là ẩn ] , trong đó vế trái P[x] và vế phải Q[x] là hai biểu thức cửa cùng một biến x.
- Số x gọi là nghiệm của phương trình nếu P[x] = Q[x] là một đẳng thức đúng.
- Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm,….. nhưng cũng có thể không có nghiệm nào [ vô nghiệm]. Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm [ hoặc tìm tập nghiệm ] của phương trình đó.
- Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau [kể cả bằng tập rỗng]. Quy tắc biến một phương trình thành một phương trình tương đương với nó được gọi là quy tắc biến đổi tương đương.
2 . Phương trình bậc nhất một ẩn:
- Định nghĩa : Phương trình dạng ax + b = 0, với a, b là hai số đã cho và a khác 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
- Hai quy tắc biến đổi tương đương;
+ Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
+ Quy tắc nhân với một số: Ta có thể nhân [ hoặc chia] cả hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0.
- Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn:
Ta có ax + b = 0 < = > ax = -b [ quy tắc chuyển vế]
< = > \[x=-\frac{b}{a}\] [ chia hai vế cho a khác 0 ]
Vậy phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất là \[x=-\frac{b}{a}\].
3 . Kiến thức nâng cao :
- Phương trình có dạng bậc nhất một ẩn ax + b = 0.
+ Với a ≠ 0 , phương trình có nghiệm duy nhất \[x=-\frac{b}{a}\]
+ Với a = 0, phương trình có dạng 0x = -b
Nếu b = 0 thì phương trình vô số nghiệm
Nếu b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm
- Với phương trình chứa tham số m, giải và biện luận phương trình là giải phương trình đó tùy theo các sở trường về giá trị của m.
II . Các dạng bài toán và ví dụ :
Dạng 1 : Xét xem một số có là nghiệm của phươn trình hay không
Ví dụ 1 : Hãy xét xem x = -3 có phải là nghiệm của phương trình sau hay không ?
a,\[2x-5=-14-x\];
b, \[\frac{2}{3}x-7=-3x\];
c, \[\frac{6}{x}-5=2x+1\];
d,\[{{x}^{2}}-4=2x+11\].
Giải
a, Thay = -3 vào phương trình, ta được :
2.[-3] – 5 = -14 – [ -3]
< = > -11 = -11 [ là một đẳng thức đúng ]
Vậy x = -3 là một nghiệm của phương trình.
b, Thay x = -3 vào phương trình, ta được :
\[\frac{2}{3}.[-3]-7=-3[-3]\]
< = > -9 = 9 [ là một đẳng thức sai]
Vậy x = -3 không là nghiệm của phương trình
c, Thay x = -3 vào phương trình , ta được :
\[\frac{6}{-3}-5=2[-3]+1\]
< = > -7 = -5 [ là một đẳng thức sai]
Vậy x = -3 không là nghiệm của phương trình
d, Thay x = -3 vào phương trình, ta được :
\[{{[-3]}^{2}}-4=2[-3]+11\]
< = > 5 = 5 [ là một đẳng thức đúng ]
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình.
Nhận xét : Để xét xem một số có là nghiệm của phương trình hay không, ta thay số đó vào phương trình. Nếu kết quả là một đẳng thức đúng thì số đã cho là nghiệm ; trái lại , số đã cho không phải là nghiệm.
Dạng 2: Giải phương trình đưa về dạng ax + b = 0
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a, \[\frac{3x-2}{5}=\frac{4-7x}{3}\];
b, \[2x[x-5]+21=x[2x+1]-12\].
Giải
\[a,\frac{3x-2}{5}=\frac{4-7x}{3}\Leftrightarrow 3[3x-2]=5[4-7x]\]
\[\Leftrightarrow 9x-6=20-35x\]
\[\Leftrightarrow 9x+35x=20+6\]
\[\Leftrightarrow 44x=26\Leftrightarrow x=\frac{13}{22}.\]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \[x=\frac{13}{22}\]
\[b,2x[x-5]+21=x[2x+1]-12\]
\[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-10x+21=2{{x}^{2}}+x-12\]
\[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-10x-2{{x}^{2}}-x=-12-21\]
\[\Leftrightarrow -11x=-33\Leftrightarrow x=3\]
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3}
Dạng 3: Xét xem hai phương trình có tương đương hay không
Ví dụ 3: Tìm m để hai phương trình sau tương đưong:
x – m = 0 [1] và mx - 9 = 0
Giải
Phương trình [1]: x – m = 0 có nghiệm duy nhất là x = m . Vì hai phương trình tương đương nên x = m cũng là nghiệm của phương trình [2], tức là : m.m – 9 = 0
\[\Leftrightarrow {{m}^{2}}={{3}^{2}}\Leftrightarrow m=\pm 3\]
Thử lại:
- Với m = 3, ta có phương trình [1] : x – 3 = 0 và phương trình [2]: 3x – 9 = 0
Có cùng tập nghiệm {3}. Vậy m = 3 thỏa mãn.
- Với m = -3, ta có phương trình [1]: x + 3 = 0 và phương trình [2]: [-3]x – 9 = 0 có cùng tập nghiệm {-3}. Vậy m = -3 thỏa mãn
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu là -3 và 3.
Dạng 4 : Giải và biện luận phương trình ax + b = 0
Ví dụ 4 : Giải và biện luận phương trình :\[[m-3]x={{m}^{2}}-3m\]
Giải
Ta có : \[[m-3]x={{m}^{2}}-3m\]\[\Rightarrow [m-3]x=m[m-3]\]
+ Nếu m – 3 ≠ 0, tức m ≠ 3, thì phương trình có nghiệm duy nhất là \[x=\frac{m[m-3]}{m-3}=m\].
+ Nếu m – 3 = 0 tức m = 3 thì ta có phương trình 0.x = 0 , đúng với mọi x.
Vậy nếu m ≠ 3 thì phương trình có tập nghiệm là {m};
nếu m = 3 thì phương trình có tập nghiệm là R.
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Xét xem x = 4 có là nghiệm của mỗi phương trình sau hay không ?
a, 2[3x – 1 ] -7 = 15 – [ x – 4 ];
b, x[3 – 4x ] -5 = 1 - \[{{x}^{3}}\].
Bài 2 : Tìm m để x = 1,5 là nghiệm của phương trình:
\[{{m}^{2}}[2x-3]-4x+m=5\]
Bài 3 : Chứng minh rằng phương trình 2mx – 5 = -x + 6m – 2 luôn có nghiệm x không phụ thuộc vào m ?
Bài 4 : Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
2x + 3 = 0 và [ 2x + 3 ] [ mx – 1 ] = 0
Bài 5 : Giải và biện luận các phương trình sau :
a, \[[1-m]x={{m}^{2}}-1;\]
b, \[[{{m}^{2}}-5m+6]x={{m}^{2}}-9.\]
Bài 6 : Cho phương trình \[\left[ 4{{m}^{2}}-25 \right]x-5=2m\]
a, Giải phương trình với m = 5 .
b, Tìm m để phương trình vô nghiệm.