Đề bài - câu 5.33 trang 184 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao

Đề bài

Cho hai số A và B sao cho

\(f\left( x \right) = {{x - 5} \over {{x^2} - 1}} = {A \over {x + 1}} + {B \over {x - 1}}\,\,\left( {\forall x \ne \pm 1} \right)\)

a) Tìm A và B

b) Tính\({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\,\,\left( {x \in N^*} \right)\)

Lời giải chi tiết

Ta có

\({{x - 5} \over {{x^2} - 1}} = {{A\left( {x - 1} \right) + B\left( {x + 1} \right)} \over {{x^2} - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x \ne \pm 1} \right)\)

\(\eqalign{& \Leftrightarrow \left( {A + B} \right)x + B - A \equiv x - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x \ne \pm 1} \right) \cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{A + B = 1 \hfill \cr B-A = - 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{A = 3 \hfill \cr B = - 2 \hfill \cr} \right.. \cr} \)

Vậy

\(f\left( x \right) = {{x - 5} \over {{x^2} - 1}} = {3 \over {x + 1}} - {2 \over {x - 1}}\)

Áp dụng công thức đạo hàm cấp n ta được:

\({\left( {{1 \over {ax + b}}} \right)^{\left( n \right)}} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!.{a^n}} \over {{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\)

Ta được

\({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = 3{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^{n + 1}}}} - 2{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^{n + 1}}}}\)