Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (-5 5)

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(y = f\left( x \right) = (x 5)({x^2} 4),x \in R\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \(\left[ { 100;100} \right]\) để hàm số\(y = g(x) = f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right)\) có ít nhất 3 điểm cực trị?

A. \(105\).

B. \(106\).

C. \(104\).

D. \(103\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \left( {x 5} \right)\left( {{x^2} 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5;x = 2;x = 2\\g'(x) = \frac{{\left( {{x^3} + 3x} \right)\left( {3{x^2} + 3} \right)}}{{\left| {{x^3} + 3x} \right|}}.f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right)\\ = \frac{{x\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {3{x^2} + 3} \right)}}{{\left| {{x^3} + 3x} \right|}}.f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right)\\g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right) = 0\end{array}\)

Do đạo hàm không xác định tại \(x = 0\) nên để hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right)\)có ít nhất 3 cực trị thì \(f'(\left| {{x^3} + 3x} \right| + m) = 0\)có ít nhất hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ khác 0.

\(f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 3x} \right| + m = 5 \Rightarrow \left| {{x^3} + 3x} \right| = 5 m\\\left| {{x^3} + 3x} \right| + m = 2 \Rightarrow \left| {{x^3} + 3x} \right| = 2 m\\\left| {{x^3} + 3x} \right| + m = 2 \Rightarrow \left| {{x^3} + 3x} \right| = 2 m\end{array} \right.\)

Yêu cầu bài toán suy ra

\(\begin{array}{l}5 m > 0 \Rightarrow m < 5,m \in Z,m \in \left[ { 100;100} \right]\\ \Rightarrow m \in \left\{ { 100; 99;.4} \right\}\end{array}\)

Vậy có tất cả 105 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=======