Cách tính tích vô hướng của hai vectơ

Bài tích vô hướng của hai vecto này là tổng hợp các công thức tích vô hướng của 2 vecto trong hệ tọa độ phẳng Oxy và hệ tọa độ không gian Oxyz. Ngoài ra, bài viết còn nêu rõ những tính chất cũng như thủ thuật sử dụng công thức cho hiệu quả với người học.

Những công thức, tính chất của nó như thế nào? Câu trả lời có ngay dưới đây

1. Tích vô hướng của hai vectơ trong hệ tọa độ Oxy

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $và $\overrightarrow b $khác vectơ $\overrightarrow 0 $. Tích vô hướng của $\overrightarrow a $và $\overrightarrow b $ là một số được ký hiệu là $\overrightarrow a .\overrightarrow b ,$ được xác định bởi công thức sau:

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow a $và $\overrightarrow b $bằng vectơ $\overrightarrow 0 $ta quy ước $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow 0 $

Chú ý:

• Với $\overrightarrow a $và $\overrightarrow b $khác vectơ $\overrightarrow 0 ,$ta có:$\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b $
• Khi $\overrightarrow a .\overrightarrow a = {\left( {\overrightarrow a } \right)^2}$ tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow a $ được kí hiệu là ${\left( {\overrightarrow a } \right)^2}$ và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow a .$ Ta có

b) Tính chất

Với 3 vecto $\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c $ bất kì và mọi số k thì ta có

Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

c. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ $\left( {0;\vec i;\vec j} \right),$ cho hai vec tơ $\vec a = \left( {{a_1};{a_2}} \right),{\text{ }}\vec b = \left( {{b_1};{b_2}} \right).$ Khi đó tích vô hướng $\vec a$và $\overrightarrow b $ là: $\vec a.\vec b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$

Nhận xét: Hai vectơ $\vec a = ({a_1};{a_2}),\,\vec b = ({b_1};{b_2})$ khác vectơ $\vec 0$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi: a1b1 + a2b2 = 0

d. Ứng dụng

Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ $\vec a = ({a_1};{a_2})$ được tính theo công thức: $|\vec a| = \sqrt {a_1^2 + {a_2}^2} $

Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu $\vec a = \left( {{a_1};{a_2}} \right),{\text{ }}\vec b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$ khác vectơ $\overrightarrow 0 $ thì ta có:

Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm $A\left( {{x_A},\,{y_A}} \right),\,B\left( {{x_B},\,{y_B}} \right)$ được tính theo công thức: $AB = \sqrt {{{({x_B} – {x_A})}^2} + {{({y_B} – {y_A})}^2}} $

2. Tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian Oxyz

a) Định nghĩa

Cho 2 vecto $\overrightarrow a = \left( {{x_1},\,{y_1},\,{z_1}} \right),{\text{ }}\overrightarrow b = \left( {{x_2},\,{y_2},\,{z_2}} \right).$Gọi $\overrightarrow A $là tích có hướng của hai vecto $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b .$ Khi tích này thường đươc kí hiệu bằng 1 trong 2 cách sau đây:

• Cách 1: $\overrightarrow A = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]$
• Cách 2: $\overrightarrow A = \overrightarrow a \wedge \vec b$

Từ định nghĩa trên ta suy ra:

• Nếu có ít nhất một vecto bằng với $\overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow A = \overrightarrow 0 $
• $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 ;\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow A \bot \overrightarrow a \\ \overrightarrow A \bot \overrightarrow b \end{array} \right.$ (Chiều tuần theo quy tắc cái đinh ốc và độ dài xác định theo $\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\vec b} \right]} \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\vec b} \right|.\sin \left( {\overrightarrow a ,\vec b} \right)$)
• $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 ;\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \\ \overrightarrow A = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \overrightarrow 0 \end{array} \right.$ khi và chỉ khi cùng phương với $\overrightarrow b $

b) Tính chất

Có 6 tính chất quan trọng:

c) Ứng dụng

d) Hướng dẫn tính toán

Khi thực hành tính toán, các em có thể tính tích có hướng ở ngoài nháp như sau:

Cho 2 vecto $\overrightarrow a = \left( {{x_1},\,{y_1},\,{z_1}} \right),{\rm{ }}\overrightarrow b = \left( {{x_2},\,{y_2},\,{z_2}} \right).$

Bước 1: Viết tọa độ mỗi véc tơ hai lần liền nhau, các tọa độ tương ứng của hai véc tơ thẳng cột

Bước 2: Xóa bỏ hai cột ngoài cùng

Bước 3: Tính toán theo quy luật Nhân chéo rồi trừ và kết quả

Trên đây là bài viết chia sẻ những kiến thức quan trọng về tích có hướng của hai vecto. Hy vọng với những chia sẻ trên đây đã giúp ích được cho bạn trong quá trình học tập.

Bài viết hôm nay, THPT Sóc Trăngbook.com sẽ giới thiệu cùng quý thầy cô và các bạn học sinh chuyên đề tích vô hướng của hai vectơ: lý thuyết và bài các dạng bài tập thường gặp. Hi vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu hữu ích giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Cùng chia sẻ ngay thôi nào !!!

I. LÝ THUYẾT VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

• 

• 

• 

• 

1. Khái niệm và tính chất

Bạn đang xem: Tích vô hướng của hai vectơ: lý thuyết và bài các dạng bài tập thường gặp

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ 

 cho hai vec tơ . Khi đó tích vô hướng  và  là:

Nhận xét: Hai vectơ 

khác vectơ  vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

3. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ  được tính theo công thức:

b) Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu  khác vectơ  thì ta có:

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm 

 được tính theo công thức :

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Dạng 1: chứng minh Hai vecto vuông góc

A. Phương pháp giải

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa

Nếu 

 thì hai vectơ  vuông góc với nhau, kí hiệu .

Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tích vô hướng và áp dụng trong hệ tọa độ

Cho 

.

Khi đó:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ  vuông góc với nhau và 

. Chứng minh hai vectơ  vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có 

. Chứng minh hai vectơ  vuông góc.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC và điểm D bất kỳ thuộc cạnh AC. Tính AD theo a để BD ⊥ AM.

Hướng dẫn giải:

Dạng 2: Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù)

A. Phương pháp giải

Các bước làm bài

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ 

 = (3;m) và  = (1;7). Xác định m để góc giữa hai vectơ  và  là 45°.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ 

 = (-1;1) và  = (m;⁡2). Tìm m để góc giữa hai vectơ  và  là 135°.

Hướng dẫn giải:

Vậy không tồn tại m để góc giữa hai vectơ  và  là 135°.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ  = (4;1) và vectơ  = (1;4). Tìm m để vectơ =m. +  tạo với vectơ 

 một góc 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

1. Cho hai vectơ’ a và overline{mathrm{b}}. Chúng minh rằng:

2.Cho hai vectơ 

 có  và .Tính tích vô hướng 

và suy ra góc giữa hai vectơ a và 

3. Cho tam giác đều ABC canh a. Goi H là trung điểm BC,tính

4. Cho hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.Tính:

b) OA .AC

c) AC. CB

5. Tam giác 

, tính AB.AC

6. Tam giác ABC có AB =5, AC =4, 

a)tính 

7. Tam giác ABC có 

a)Tính 

 rồi suy ra giá trị góc A

b)Tính CA . CB

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu chuyên đề tích vô hướng của hai vectơ: lý thuyết và bài các dạng bài tập thường gặp. Hi vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu thiết yếu phục vụ quá trình dạy và học được tốt hơn. Xem thêm cách giải phương trình bậc bốn tại đường link này nhé !

Đăng bởi: THPT Sóc Trăng

Chuyên mục: Giáo dục