Bài tập về công thức xác suất đầy đủ có lời giải
Định nghĩa: Nhóm các sự kiện $A_1, A_2, \cdots,A_n, (n\geq 2)$ của một phép thử được gọi là một nhóm đầy đủ nếu:
Ví dụ: Một tiểu đoàn có 3 đại đội cùng trồng một loại bí xanh. Chọn ngẫu nhiên một quả bí xanh và gọi $A_1, A_2, A_3$ lần lượt là sự kiện quả bí xanh được chọn do đại đội 1, đại đội 2 và đại đội 3 trồng. Khi đó hệ $\{A_1, A_2, A_3\}$ là đầy đủ.
Ví dụ: Xét một lô giày chiến sĩ được sản xuất bởi 3 nhà máy với tỉ lệ lần lượt là 20%, 30% và 50%. Xác suất giày hỏng của các nhà máy lần lượt là 0,001; 0,005 và 0,006. Lấy ngẫu nhiên một chiếc giày từ lô hàng. Tìm xác suất để chiếc giày lấy ra bị hỏng.
Công thức Bayes, mang tên của linh mục và nhà toán học người Anh Thomas Bayes (1702-1761), là công thức ngược, cho phép tính xác suất có điều kiện $P(B|A)$ khi biết xác suất có điều kiện $P(A|B)$ và một số thông tin khác. Dạng đơn giản nhất của công thức này là: Nếu $A, B$ là hai sự kiện bất kì với xác suất khác 0 thì từ quy tắc nhân xác suất $$P(A|B).P(B)=P(B|A).P(A)\Rightarrow P(B|A)=\dfrac{P(A|B).P(B)}{P(A)}.$$ Định lý: Giả sử $\{A_1,A_2,\cdots,A_n\}$ là hệ đầy đủ và $B$ là một sự kiện bất kì có thể xảy ra trong phép thử. Khi đó ta có công thức Bayes: $$P(A_k|B)=\dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{P(B)}=\dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^{n}{P(A_i)P(B|A_i)}},\quad k=1,2,\cdots,n.$$ Ví dụ: Dây chuyền lắp ráp máy vô tuyến điện gồm các linh kiện là sản phẩm từ 2 nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy 1 sản xuất chiếm 55%, số linh kiện nhà máy 2 sản xuất chiếm 45%; tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của nhà máy 1 là 90%, nhà máy 2 là 87%. Lấy ngẫu nhiên ra 1 linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó ra kiểm tra thì được kết quả linh kiện đạt chuẩn. Tìm xác suất để linh kiện đó do nhà máy 1 sản xuất?
Bạn đang xem: Bài tập xác suất đầy đủ có lời giải 1) Công thức xác suất đầy đủ a) Hệ đầy đủ các biến cố Hệ các biến cố Hệ b) Công thức xác suất đầy đủ Giả sử Ví dụ 1: Có 3 hộp giống nhau. Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm, hộp thứ hai đựng 15 sản phẩm, trong đó có 10 chính phẩm, hộp thứ ba đựng 20 sản phẩm, trong đó có 15 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm. Lời giải: Ký hiệu Khi đó Theo công thức xác suất đầy đủ Thay vào ta thu được
Vậy xác suất để lấy được chính phẩm là Ví dụ 2: Từ một hộp chứa Lời giải: Ký hiệu Ta có Vì
Vậy xác suất để quả lấy lần thứ hai là trắng là Ví dụ 3: Có 10 chiếc túi như sau: 4 túi loại 1, trong mỗi túi loại 1 chứa 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen, 2 túi loại 2, trong mỗi túi loại 2 chứa 3 viên bi trắng và 7 viên bi đen, 1 túi loại 3, trong mỗi túi loại 3 chứa 7 viên bi trắng và 3 viên bi đen, 3 túi loại 4, trong mỗi túi loại 4 chứa 4 viên bi trắng và 6 viên bi đen. Chọn ngẫu nhiên 1 chiếc túi rồi lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu. Lời giải: Ký hiệu Khi đó Theo công thức xác suất đầy đủ Thay vào ta được
Vậy Ví dụ 4: Có hai cái hộp. Hộp thứ nhất có 4 bi trắng và 5 bi đen. Hộp thứ hai có 5 bi trắng và 4 bi đen. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi ở hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi sau đó chọn ngẫu nhiên một viên bi ở hộp thứ hai ra. Tính xác suất để lấy được bi trắng từ hộp thứ hai. Lời giải: Gọi Khi đó Theo công thức xác suất đầy đủ Dễ thấy Thay các giá trị này vào ta được
Vậy xác suất cần tìm là Ví dụ 5: Trong một cái hộp có Lời giải: Gọi Theo giả thiết Ta có Theo công thức xác suất đầy đủ Thay vào ta được
2) Công thức Bayes Giả sử Ví dụ 6: Dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp 60% chi tiết, máy thứ hai cung cấp 40% chi tiết. Khoảng 90% chi tiết do máy thứ nhất sản xuất là đạt tiêu chuẩn, còn 85% chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyền một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất. Xem thêm: Top 10 Tổng Hợp Các Dạng Toán Lớp 3 Có Đáp An 2022, 140 Đề Thi Toán Lớp 3 Năm 2021 Lời giải: Gọi |