- Bài 5.5
- Bài 5.6
- Bài 5.7
Bài 5.5
Tính:
\[M = {2^{2010}} - [{2^{2009}} + {2^{2008}} + ... + {2^1} + {2^0}]\]
Phương pháp giải:
\[{x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\] [\[ x\mathbb Q, m,n\mathbb N\]]
Quy ước:
\[\eqalign{
& {a^o} = 1\,\,\left[ {a \in {\mathbb N^*}} \right] \cr
& {x^o} = 1\,\,\left[ {x \in\mathbb Q,\,\,x \ne 0} \right] \cr} \]
Tính chất phân phối: \[ab+ac=a[b+c]\].
Lời giải chi tiết:
Đặt\[A = {2^{2009}} + {2^{2008}} + ... + {2^1} + {2^0}\]
Ta có:
\[2A = 2.\left[ {{2^{2009}} + {2^{2008}} + ... + {2^1} + {2^0}} \right]\]
\[2A = {2^{2010}} + {2^{2009}} + ... + {2^2} + {2^1}\]
\[ \Rightarrow 2A - A = \left[ {{2^{2010}} + {2^{2009}} + ... + {2^2} + {2^1}} \right] \]\[- \left[ {{2^{2009}} + ... + {2^2} + {2^1} + {2^0}} \right]\]
\[\Rightarrow 2A - A = {2^{2010}} - 1\]
\[\Rightarrow A = {2^{2010}} - 1\]
Do đó \[M = {2^{2010}} - A = {2^{2010}} - [{2^{2010}} - 1] \]\[\,= {2^{2010}} - {2^{2010}} + 1 = 1\].
Bài 5.6
So sánh \[{3^{4000}}\]và \[{9^{2000}}\]bằng hai cách.
Phương pháp giải:
\[{\left[ {{x^m}} \right]^n} = {x^{m.n}}\][\[ x\mathbb Q, m,n\mathbb N\]]
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
\[{9^{2000}} = {[{3^2}]^{2000}} = {3^{4000}}\]
Vậy\[{9^{2000}} = {3^{4000}}\].
Cách 2:
\[{3^{4000}} = {[{3^4}]^{1000}} = {81^{1000}}\] [1]
\[{9^{2000}} = {[{9^2}]^{1000}} = {81^{1000}}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra\[{9^{2000}} = {3^{4000}}\].
Bài 5.7
So sánh \[{2^{332}}\]và \[{3^{223}}\].
Phương pháp giải:
+] \[{\left[ {{x^m}} \right]^n} = {x^{m.n}}\][\[ x\mathbb Q, m,n\mathbb N\]]
+] \[m > n \Rightarrow {a^m} > {a^n}\,\left[ {a > 1;\,m,n \in N} \right]\]
+] \[a < b \Rightarrow {a^m} < {b^m}\,\left[ {a,b > 0;m \in {N^*}} \right]\]
+] \[\left. \begin{array}{l}
a > b\\
b > c
\end{array} \right\} \Rightarrow a > c\]
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[{3^{223}} > {\rm{ }}{3^{222}} = {[{3^2}]^{111}} = {9^{111}}\] [1]
\[{2^{332}} < {2^{333}} = {[{2^3}]^{111}} = {8^{111}}\] [2]
Mà \[8