Ví dụ về hệ bất phương trình tương đương
Bài 3 trang 88 sgk đại số 10: Bài 2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn. Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương? Show
Bài 3. Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương? a) \(- 4x + 1 > 0\) và \(4x – 1 <0\); b) \(2x^2+5 ≤ 2x – 1\) và \(2x^2– 2x + 6 ≤ 0\); c) \(x + 1 > 0\) và \(x + 1 + \frac{1}{x^{2}+1}>\frac{1}{x^{2}+1};\) d) \(\sqrt{x-1} ≥ x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} ≥ x(2x + 1)\). a) Tương đương. Vì nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với \(-1\) và đổi chiều bất phương trình thì được bất phương trình thứ 2. Quảng cáob) Chuyển vế các hạng tử vế phải sang vế trái ở bất phương trình thứ nhất thì được bất phương trình thứ hai tương đương. c) Tương đương. Vì cộng hai vế bất phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{x^{2}+1} > 0\) với mọi \(x\) ta được bất phương trình thứ 3. d) Điều kiện xác định bất phương trình thứ nhất: \(D =[1;+\infty)\). \(2x + 1 > 0 , ∀x ∈ D\). Nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với \((2x + 1) \) ta được phương trình thứ hai. Vậy hai bất phương trình tương đương. Từ VLOS
Lí thuyết[sửa]Ở lớp 8, chúng ta đã được làm quen với một số khái niệm liên quan đến bất phương trình: bất phương trình một ẩn, tập nghiệm của bất phương trình, giải bất phương trình, hai bất phương trình tương đương, quy tắc biến đổi bất phương trình... Bài này, chúng ta sẽ tìm hiểu một cách đầy đủ hơn về các khái niệm đó, ngoài ra chúng ta còn biết thêm: thế nào là hệ bất phương trình một ẩn và cách giải nó. Khái niệm bất phương trình[sửa]Bất phương trình một ẩn[sửa]Cũng giống như khái niệm phương trình một ẩn, ta có định nghĩa sau về bất phương trình một ẩn: CHÚ Ý
Điều kiện của một bất phương trình[sửa]Tương tự như điều kiện của phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để các biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định của bất phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của bất phương trình). Chẳng hạn, điều kiện của bất phương trình: là 3 - x ≥ 0 và x + 1 ≥ 0. Bất phương trình chứa tham số[sửa]Cũng giống như phương trình chứa tham số. Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác, các chữ này được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Tập nghiệm của bất phương trình có thể phụ thuộc vào tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số thì bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó. Chẳng hạn:
Bất phương trình tương đương[sửa]Định nghĩa[sửa]Ở lớp 8, chúng ta đã được biết thế nào là hai bất phương trình tương đương. Dưới đây, chúng ta có một định nghĩa đầy đủ hơn. Giống như phương trình tương đương, ta có:
Phép biến đổi tương đương[sửa]Cũng như với phương trình, để giải một bất phương trình ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình tương đương cho đến khi được bất phương trình đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy, không làm thay đổi tập nghiệm của bất phương trình, được gọi là các phép biến đổi tương đương. Mở rộng từ các quy tắc biến đổi bất phương trình đã biết, ta có một số phép biến đổi tương đương sau, thường được sử dụng khi giải bất phương trình. Cộng/trừ[sửa]
Nếu cộng hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) + f(x) với biểu thức -f(x) ta được bất phương trình P(x) - f(x) < Q(x). Do đó:
Nhân/chia[sửa]
Bình phương[sửa]
Hệ bất phương trình một ẩn[sửa]Có những bài toán yêu cầu tìm các giá trị của ẩn số x thỏa mãn đồng thời nhiều bất phương trình. Nói cách khác, khi đó ta cần giải một hệ bất phương trình ẩn x. Mỗi số thực x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình. Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Hiển nhiên, tập nghiệm của một hệ bất phương trình là giao của tất cả các tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Do đó: Muốn giải hệ bất phương trình một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.
Suy ra, Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là: BÀI TẬP[sửa]1. Một bạn lập luận như sau: Do hai vế của bất phương trình luôn không âm nên bình phương hai vế, ta được bất phương trình tương đương . Theo em, lập luận trên có đúng không? Vì sao?
Xem thêm[sửa]Tài liệu tham khảo[sửa]
Liên kết ngoài[sửa]
<<< Đại số 10 |