Hệ thức độc lập là gì
Lời giải Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}\Rightarrow {{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow \left| v \right|=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{2\pi }{T}\sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8\pi \text{ cm/s}\text{.}$ Chọn A.
Lời giải Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}\Rightarrow {{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{(-{{8}^{2}})+{{\left( \frac{8}{4} \right)}^{2}}}=4\sqrt{5}$. Chọn C.
Lời giải Ta có: ${{A}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow \omega =\frac{\left| v \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=2\pi \Rightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=1s.$Chọn C.
Lời giải Ta có: $\overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{a}\Rightarrow {{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow \frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}}.$Chọn C.
Lời giải Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}$ suy ra ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{-\omega A} \right)}^{2}}=1.$ Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{matrix}{{\left( \frac{{{x}_{1}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{1}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1 \\{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{2}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{{{A}^{2}}}+\frac{900}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1 \\\frac{9}{{{A}^{2}}}+\frac{100}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{{{A}^{2}}}=\frac{1}{10} \\\frac{1}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=\frac{1}{1000}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A=\sqrt{10}cm \\\omega =10rad/s \\\end{matrix} \right. \\\end{matrix} \right.$ Chọn A
Lời giải Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}$ suy ra ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{-\omega A} \right)}^{2}}=1.$ Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{matrix}{{\left( \frac{{{x}_{1}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{1}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1 \\{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{2}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}=x_{2}^{2}+\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}$ $\Rightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}=2\pi \sqrt{\frac{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}.}$. Chọn B.
Lời giải Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}$ suy ra ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{-\omega A} \right)}^{2}}=1$ Ta có: $\left\{ \begin{matrix}{{\left( \frac{{{x}_{1}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{1}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1 \\{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{2}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}=x_{2}^{2}+\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{v_{1}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}=\frac{v_{2}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{2}^{2}}$ $\Leftrightarrow v_{1}^{2}{{A}^{2}}-v_{1}^{2}x_{2}^{2}={{A}^{2}}v_{2}^{2}-v_{1}^{2}v_{2}^{2}\Rightarrow A=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}^{2}v_{2}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}}=\sqrt{\frac{v_{2}^{2}x_{1}^{2}-v_{1}^{2}x_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}$. Chọn A
Lời giải Ta có: $\omega =\sqrt{\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}}=2\pi \Rightarrow A=\sqrt{x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}}=6\Rightarrow {{v}_{\max }}=12\pi .$ Chọn A.
Lời giải Ta có: $a=-{{\omega }^{2}}x\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{a}{-x}=4{{\pi }^{2}}\Rightarrow \omega =2\pi \Rightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=1\left( s \right)$ Áp dụng hệ thức độc lập ta có: ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Leftrightarrow \left( 4\sqrt{3} \right)+\frac{48{{\pi }^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow A=8\left( cm \right)$. Chọn C.
Lời giải Do $\overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{a}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{a_{1}^{2}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}} \\\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{a_{2}^{2}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}} \\\end{matrix}\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}\Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}} \right.$ . Chọn B
Lời giải Ta có: ${{v}_{1}}={{v}_{\max }}=20\Rightarrow {{a}_{1}}=0$ và ${{v}_{2}}=16;{{a}_{2}}=24.$ Mặt khác: $\left\{ \begin{matrix}\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{a_{1}^{2}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}} \\\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{a_{2}^{2}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}} \\\end{matrix}\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}=\frac{{{\left( 24 \right)}^{2}}}{{{20}^{2}}-{{16}^{2}}}=4\Rightarrow \omega =2 \right.$ $\Rightarrow A=\frac{{{v}_{\max }}}{\omega }=\frac{{{v}_{1}}}{4}=10\left( cm \right)$. Chọn D.
Lời giải Khi vật ở vị trí biên ta có: ${{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A=36$ Ta có: ${{A}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=9+\frac{{{\left( 3\sqrt{7} \right)}^{2}}}{\frac{36}{A}}\Leftrightarrow {{A}^{2}}=9+\frac{7A}{4}\Rightarrow A=4cm.$ Chọn C
Lời giải Biên độ dao động của vật là: $A=\frac{\ell }{2}=8\left( cm \right).$ Ta có: $\overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{a}\Rightarrow {{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow \frac{{{40}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{{{\left( 400\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}=64\xrightarrow{t=\frac{1}{{{\omega }^{2}}}}1600t+480000{{t}^{2}}=64\Rightarrow t=\frac{1}{100}\Rightarrow \omega =10rad/s.$ Do đó: $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{\pi }{5}s$. Chọn B.
Lời giải Khi chất điểm ở vị trí cân bằng ta có: $v={{v}_{\max }}=\omega A=4cm/s.$ Do $\overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{a}\Rightarrow {{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{{2}^{2}}}{{{4}^{2}}}+\frac{{{\left( 8\sqrt{3} \right)}^{2}}}{a_{\max }^{2}}=1\Rightarrow {{a}_{\max }}=16cm/{{s}^{2}}$ Mặt khác $\left\{ \begin{matrix}{{v}_{\max }}=\omega A \\{{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A \\\end{matrix}\Rightarrow A=\frac{v_{\max }^{2}}{{{a}_{\max }}} \right.=1cm.$ Chọn C.
Lời giải Ta có: $\frac{v_{1}^{2}}{v_{\max }^{2}}=1-\frac{x_{1}^{2}}{{{A}^{2}}}=1-\frac{x_{1}^{2}}{{{\left( \frac{{{v}_{\max }}}{\omega } \right)}^{2}}}=1-\frac{{{\omega }^{2}}x_{1}^{2}}{v_{\max }^{2}}\Rightarrow v_{1}^{2}=v_{\max }^{2}-{{\omega }^{2}}x_{1}^{2}$. Chọn C.
Lời giải Ta có: $\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{v}^{2}}}{16}=4\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{v}^{2}}}{64}=1=\frac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\left( \omega A \right)}^{2}}}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A=4cm \\\omega A=8\Rightarrow \omega =2rad/s \\\end{matrix} \right.$ Chọn B.
Lời giải Ta có: $v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$ . Do đó $\frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=\frac{{{\omega }_{1}}\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{\omega }_{2}}\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=2$. Chọn B.
Lời giải Ta có: Do $\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{v}\Rightarrow {{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{v}_{\max }}=80\left( cm/s \right)$ Khi đó $A=\frac{v_{\max }^{2}}{{{a}_{\max }}}=20cm$. Chọn A
Lời giải Ta có: ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$. Trong đó $A=\frac{\ell }{2}=10cm\Rightarrow \frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=75\Rightarrow \omega =\pi \left( rad/s \right).$ Do đó $T=\frac{2\pi }{\omega }=2s.$Chọn B
Lời giải Vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20 cm => Biên độ dao động của vật là A = 10 cm Khi vật có li độ x = 5cm và vận tốc $v=10\pi \sqrt{3}\left( cm/s \right).$ Áp dụng hệ thức độc lập ${{x}^{2}}+{{\left( \frac{v}{\omega } \right)}^{2}}={{A}^{2}}\Leftrightarrow \omega =\sqrt{\frac{{{v}^{2}}}{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=2\pi \left( rad/s \right)$ Chu kỳ dao động của vật là: $T=\frac{2\pi }{\omega }=1\left( s \right)$. Chọn B
Lời giải Tần số gốc của vật $\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right)$ Khi có vận tốc $v=2,5\pi \left( cm/s \right)$. Áp dụng hệ thức độc lập ta có: ${{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow a={{\omega }^{2}}A\sqrt{1-{{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}}=25\sqrt{3}\left( cm/{{s}^{2}} \right)$ Chọn C.
Lời giải Tần số góc của vật là: $\omega =2\pi f=4\pi \left( rad/s \right)$ Pha dao động tại thời điểm t bằng $\frac{\pi }{3}\Rightarrow x=A\cos \varphi =\frac{A}{2}$ Gia tốc tại thời điếm này là $a=-{{\omega }^{2}}x=-\frac{{{\omega }^{2}}A}{2}\Leftrightarrow A=0,05m=5cm$ Tốc độ của vật khi qua li độ $x=2,5\sqrt{2}\left( cm \right)$ là $v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=20\sqrt{5}\left( cm/s \right)$. Chọn C.
Lời giải Áp dụng hệ thức độc lập thời gian: $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}} \\x_{2}^{2}+\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}} \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{5}^{2}}+{{\left( \frac{10\pi \sqrt{3}}{\omega } \right)}^{2}}={{A}^{2}} \\{{\left( 5\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{10\pi \sqrt{2}}{\omega } \right)}^{2}}={{A}^{2}} \\\end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A=10cm \\\omega =2\pi \\\end{matrix} \right.$. Chọn B
Lời giải x1 và x2 ngược pha ta có mối quan hệ: $\frac{{{x}_{1}}}{{{A}_{1}}}=-\frac{{{x}_{2}}}{{{A}_{2}}}\Rightarrow \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=-\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}$ tỉ số li độ tức thời của 2 dao động luôn bằng hằng số $\Rightarrow {{\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)}_{t1}}={{\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)}_{t2}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{-3\sqrt{3}} \right)}_{t1}}={{\left( \frac{-2}{{{x}_{2}}} \right)}_{t2}}\Rightarrow {{\left( {{x}_{2}} \right)}_{t2}}=1,2\sqrt{3}\text{ cm}\text{.}$Chọn A.
Lời giải Cách 1: Đạo hàm theo t hai vế pt: $4x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=25\text{ c}{{\text{m}}^{2}}\left( 1 \right)$, được: $4.2{{x}_{1}}.{{v}_{1}}+2{{x}_{2}}.{{v}_{2}}=0\Leftrightarrow 4{{x}_{1}}{{v}_{1}}+2{{x}_{2}}{{v}_{2}}=0\Rightarrow 4\left| {{x}_{1}} \right|.\left| {{v}_{1}} \right|=\left| {{x}_{2}} \right|\left| {{v}_{2}} \right|$ (2) Khi ${{x}_{1}}=2\text{ cm}$thay vào $\left( 1 \right)\Rightarrow \left| {{x}_{2}} \right|=3$ Thay vào (2) ta được $4.2.6=3.\left| {{v}_{2}} \right|\Rightarrow \left| {{v}_{2}} \right|=16\text{ cm/s}\text{.}$ Cách 2:Chia 2 vế (1) cho 25, được $\frac{x_{1}^{2}}{\frac{25}{4}}+\frac{x_{2}^{2}}{25}=1\Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ vuông pha $A_{1}^{2}=\frac{25}{4};A_{2}^{2}=25$ Khi ${{x}_{1}}=2$ cm, thay vào $\left( 1 \right)\Rightarrow \left| {{x}_{2}} \right|=3.$ Hai chất điểm dao động cùng tần số $\omega =\frac{\left| {{v}_{1}} \right|}{\sqrt{A_{1}^{2}-x_{1}^{2}}}=\frac{\left| {{v}_{2}} \right|}{\sqrt{A_{2}^{2}-x_{2}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{6}{\sqrt{\frac{25}{4}-{{2}^{2}}}}=\frac{\left| {{v}_{2}} \right|}{\sqrt{25-{{3}^{2}}}}\Rightarrow \left| {{v}_{2}} \right|=16\text{ cm/s}\text{.}$ Chọn C.
Lời giải Do ${{v}_{2}}=-20{{x}_{1}}\Rightarrow {{v}_{2}}$và x1 ngược pha: $\frac{{{v}_{2}}}{\omega {{A}_{2}}}=-\frac{{{x}_{1}}}{{{A}_{1}}}\Rightarrow {{v}_{2}}=-\frac{\omega {{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}{{x}_{1}}$ Đồng nhất hệ số: $\frac{\omega {{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}=20\Rightarrow \frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}=\frac{1}{2}\text{ }\left( 1 \right)$ ${{x}_{1}}$ ngược pha với ${{v}_{2}}$, mà ${{v}_{2}}$ vuông pha với ${{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{1}}$vuông pha ${{x}_{2}}$: ${{\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{A}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{{{A}_{2}}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{5}{{{A}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{-2,5\sqrt{3}}{{{A}_{2}}} \right)}^{2}}=1\text{ }\left( 2 \right).$ Từ (1) và (2) ta được: ${{A}_{1}}=5cm,\text{ }{{\text{A}}_{2}}=10\text{ cm}\Rightarrow {{\text{A}}_{1}}+{{A}_{2}}=15\text{ cm}\text{.}$ Chọn A.
Lời giải Từ đồ thị tìm được A = 10 cm và khi x = 6 cm thì v = 80 cm/s. Do tại cùng một thời điểm v,x vuông pha, nên ta có ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{A\omega } \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{6}{10} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{80}{10\omega } \right)}^{2}}=1\Rightarrow \omega =10rad/s$ ${{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A={{10}^{2}}.10=1000\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}$. Chọn D.
Lời giải ${{v}_{0}}={{v}_{\max }}\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}};\text{ }{{\text{a}}_{N}}=10\text{cm/}{{\text{s}}^{2}}$ và có $a=-{{\omega }^{2}}x$ I trung điểm MN: ${{x}_{1}}=\frac{{{x}_{N}}+{{x}_{M}}}{2}\Rightarrow {{x}_{N}}=2{{x}_{1}}-{{x}_{M}};$ Nhân cả 2 vế cho $-{{\omega }^{2}}:$$-{{\omega }^{2}}{{x}_{N}}=2\left( -{{\omega }^{2}}{{x}_{1}} \right)-\left( -{{\omega }^{2}}{{x}_{M}} \right)$ $\Leftrightarrow {{a}_{N}}=2{{a}_{1}}-{{a}_{M}}$ $\Rightarrow {{a}_{N}}=2.10-20=0\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}$. Chọn D. |