Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng $\left\{ \begin{gathered} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + ... + {a_{1n}}{x_1} = 0 \hfill \\ {a_{12}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + ... + {a_{2n}}{x_n} = 0 \hfill \\ ... \hfill \\ {a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + ... + {a_{mn}}{x_n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Với $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right],X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {...} \\ {{x_n}} \end{array}} \right],O = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ {...} \\ 0 \end{array}} \right].$
Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng ma trận $AX=O.$
Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng véctơ ${{x}_{1}}A_{1}^{c}+{{x}_{2}}A_{2}^{c}+...+{{x}_{n}}A_{n}^{c}=O.$
Hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận hệ số mở rộng của hệ thuần nhất bằng nhau do đó nó luôn có nghiệm. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=...={{x}_{n}}=0,$ nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Bạn đang xem: Nghiệm tầm thường là gì
2 - Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường [vô số nghiệm]
Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.
Hệ quả 1: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn số ẩn luôn có nghiệm không tầm thường [vô số nghiệm]
Hệ quả 2: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.
Xem thêm: Tổ Chức Phi Chính Phủ Là Gì, Tổ Chức Phi Chính Phủ [Ngo] Là Gì
Hệ quả 3: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn chỉ có nghiệm tầm thường [nghiệm duy nhất] khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.
3 - Cấu trúc tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Tập $\ker [A] = \left\{ {X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {...} \\ {{x_n}} \end{array}} \right] \in {\mathbb{R}^n}|AX = O} \right\}$ là một không gian con của không gian véctơ ${{\mathbb{R}}^{n}}$ và được gọi là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất $AX=O$ hay không gian nghiệm của hệ thuần nhất.
Mỗi cơ sở của $\ker [A]$ được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.
Số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất $\dim\left[ \ker [A] \right]=n-r[A].$
Vậy $r[A]=r>>Hệ phương trình tuyến tính tổng quát và Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính
Đề và đáp án chi tiết của đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2020 - 2021 bảng A tỉnh Nghệ An bạn đọc tải về tạiđây
Trong toán học [cụ thể là trong đại số tuyến tính], một hệ phương trình đại số tuyến tính hay đơn giản là hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính với cùng những biến số. Ví dụ:
Một phương pháp giải cho hệ trên là phương pháp thế. Trước hết, biến đổi phương trình đầu tiên để được phương trình tính ẩn x {\displaystyle x} theo y {\displaystyle y} :
x = 3 − 3 2 y . {\displaystyle x=3-{\frac {3}{2}}y.}Sau đó thế hệ thức này vào phương trình dưới:
4 [ 3 − 3 2 y ] + 9 y = 15. {\displaystyle 4\left[3-{\frac {3}{2}}y\right]+9y=15.}Ta được một phương trình bật nhất theo y {\displaystyle y} . Giải ra, ta được y = 1 {\displaystyle y=1} , và tính lại x {\displaystyle x} được x = 3 / 2 {\displaystyle x=3/2} .
Hệ phương trình trên có thể được viết theo dạng phương trình ma trận:
Ax=bVới A là ma trận chứa các hệ số ai, j [ai, j là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của A]; x là vector chứa các biến xj; b là vector chứa các hằng số bi. Tức là:
[ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , k a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 2 , k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 a n , 2 ⋯ a n , k ] [ x 1 x 2 ⋮ x k ] = [ b 1 b 2 ⋮ b n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}}Nếu các biến số của hệ phương trình tuyến tính nằm trong các trường đại số vô hạn [ví dụ số thực hay số phức], thì chỉ có ba trường hợp xảy ra:
- hệ không có nghiệm [vô nghiệm]
- hệ có duy nhất một nghiệm
- hệ có vô số nghiệm
Hệ phương trình tuyến tính có thể thấy trong nhiều ứng dụng trong khoa học.
Trong trường hợp tổng quát, ta xét các ma trận hệ số A và ma trận hệ số bổ sung thêm cột các số hạng ở vế phải A' .
A = [ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , k a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 2 , k ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ a n , 1 a n , 2 ⋯ a n , k ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\cdot &\cdot &\cdots &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}\end{bmatrix}}} ; A ′ = [ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , k b 1 a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 2 , k b 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a n , 1 a n , 2 ⋯ a n , k b n ] {\displaystyle A'={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}&b_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}&b_{2}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}&b_{n}\end{bmatrix}}}Khi đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi hạng của hai ma trận này bằng nhau.
r a n k [ A ] = r a n k [ A ′ ] = r {\displaystyle rank[A]=rank[A']=r} .Chi tiết hơn ta có:
- Nếu
r
=
r
a
n
[
A
]
<
r
a
n
[
A
′
]
{\displaystyle r=ran[A]