1.1.Định nghĩaHệ lực phẳng đồng quy là hệ lực có đường tác dụng nằm trong một mặtphẳng và đồng quy tại một điểm (h.2-1a).Theo hệ quả của tiên đề 2, ta có thể trượt các lực đó trên đường tác dụng củanó về điểm đồng qui O, nên hệ lực đồng qui có thể thay bằng hệ lực đặt tại mộtđiểm (h.2-1b).1.2.Hợp lực của hai lực đồng a)qui1.2.1.Qui tắc hình bình hànhlựcF1b)F2A1A2O A3F3Giả sử có hai lực F1 và F2đồng qui tại O. Theo tiên đề 3,hợp lực R là đường chéo củahình bình hành lực (h.2-2):F2F1OF3Hình 2-1R = F1 + F2Để xác định R ta phải xác định trị số, phương chiều của nó. Về trị số:R2 = F12 + F22 2F1F2 cos(180 α) .Vì cos(180- α) = - cosα nên cuối cùng ta có: R = F12 + F22 + 2F1F2 cosα(2-1)Các trường hợp đặc biệt Hai lực cùng phương, cùng chiều (h.2-3a), ta có α = 0, nên R = F1 + F2. Hai lực cùng phương, ngược chiều (h.2-3b), ta có α = 180o, nên R = | F1 - F2| . Hai lực vuông góc nhau (h.2-3c), ta có α = 90o, nên R =F12 + F22 Về phương chiều:Ap dụng hệ thức trong tam giác, ta có:FFRR===sinα1 sinα 2 sin(180o α) sinαF1OCRα2α1αF1a)AF2RObF2OF1RF2Bc)F1OHình 2-2 và Hình 2-37RF2 F1sinα vàRsinα1 =sinα2 =F1sinαRtrong đó: góc α1 và α2 xác định phương và chiều của R1.2.2.Qui tắc tam giác lựcTa có thể xác định hợp lực R bằng cách: từ mút A của lực F1 đặt lực F2' songsong, cùng chiều và có cùng trị số với lực F2 . Rõ ràng hợp lực R có gốc đặt tại O,mút trùng với mút C của lực F2' .R= F1 + F2'Ta thấy rằng: hợp lực R đã khép kín tam giác lực tạo bởi hai lực thành phầnF1 và F2 (h.2-4). R .1.2.3.Quy tắc hình hộp lựcR'a)ωb)FxFyFxϕFFyFzFRc)ωd)FxωFyFzFzR1R2Hình 2-7Ở trên ta đã xét trường hợp các lực phẳng đồng quy tác dụng lên vật. Trongkỹ thuật, nhiều khi các chi tiết chịu tải trọng là những lực đồng quy không nằmtrong cùng một mặt phẳng như lực cắt gọt khi tiện (h.2-7).Fz .Trong mặt phẳng chứa lực R và trục Z: R là hợp lực của các lực F vaø R = F + FzVề trị sốR = F 2 + Fz28 Trong mặt phẳng ngang, lực F có thể phân tích thành hai lực thành phần Fxhướng theo trục chi tiết, thành phần Fy hướng theo bán kính vng góc với trục: F = Fx + FyVề trị sốyF = Fx2 + Fy2Từcác biểu thức trên cho ta cơng thức tínhlực cắt R theo quy tắc hình hộp lực (h.2-7a): R = Fx + Fy + FzVề trị sốR=F'2Y2RyRFx2 + Fy2 + Fz2Trong quá trình tiện mặt đầu bằng dao vai(h.2-7c) có ϕ = 90o, khi đó Fy = 0. Lực cắt sẽ là: R1 = Fx + FzVề trị sốF'nF2F1FnOX1R1 = Fx2 + Fz2X2RxXnxHình 2-9Trong q trình tiện rãnh bằng dao cắt(h.2-7d) có ϕ = 0o, khi đó lực hướng trục là F x =0. Lực cắt sẽ là: R 2 = Fy + FzVề trị sốR2 = Fy2 + Fz2Theo tiên đề tương tác, dao sẽ tác dụng lên chi tiếtlực R' có trị sốbằnglực, hướng ngược lại và đặt vào yRchi tiết. Lực R' cũng được phân tích thành các lực thànhphần theo quy tắc hình hộp lực.Y1.3.Hợp lực của hệ lực phẳng đồng quiCó hai phương pháp để tìm hợp lực của hệ lực Ophẳng đồng quy, đó là phương pháp đa giác lực (còn gọilà phương pháp hình học) và phương pháp giải tích (còngọi là phương pháp chiếu).FαXxHình 2-8Ở đây ta chỉ nghiên cứu hệ lực bằng phương pháp giải tích.1.4.Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồngquyMuốn hệ lực phẳng đồng qui cân bằng thì trò sốcủa hợp lực R phải bằng không. Khi đó đa giác lực tựđóng kín, nghóa là đa giác lực có mút của lực cuốicùng trùng với gốc của lực đầu.9 Ta có kết luận: Điều kiện cần và đủ để một hệlực phẳng đồng qui cân bằng là đa giác lực tự đóngkín.2. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng giải tích2.1.Chiếu một lực lên trục tọa độGọi hình chiếu của lực F lên hai trụcvng góc Oxy là X và Y, ta có (h.2-8):X = ± F cosα Y = ± F sinα (2-1)trong đó: α - góc nhọn hợp bởi lực F với trục x.Hình chiếu lấy dấu (+) khi chiều từ điểm chiếu của gốc đến điểm chiếu củamút cùng chiều (+) với trục, lấy dấu (-) trong trường hợp ngược lại.Đặc biệt Nếu F vng góc, chẳnng hạn với trục Ox thì X = 0 và Y = ± F. Nếu F song song, chẳng hạn với trục Ox thì X = ± F còn Y = 0.Ngược lại, khi biết hình chiếu X, Y của lực F trên hai trục vng góc Oxy,ta hồn tồn xác định được nó: Về trị số:F=X 2 +Y 2(2-3) Về phương chiều:cosα =XFvà sinα =hoặc tgα =YFYX(2-4)2.2.Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tíchCho hệ lực phẳng đồng qui ( F1 , F2 Fn ) có hình chiếu tương ứng trên cáctrục của hệ tọa độ vng góc là (X1, X2,, Xn) và (Y1, Y2,, Yn) (h.2-9).Ta có hợp lực:R = F1 + F2 + + Fn = Σ FChú ýnĐáng lẽ phải viết làF k nhưng để cho gọn, ta quy ước viết Σ Fk hoặc Σ F .k =1Theo php tính vectơ, thì: Hình chiếu của vectơ tổng bằng tổng đại số hìnhchiếu của của các vectơ thành phần.Tổng quát, ta có:10 R x = X1 + X2 + + X n = ΣX R y = Y1 + Y 2 + + Y n = ΣY (2-5) Về trị số:R = R 2x + R 2y = (ΣX )2 + (ΣY )2(2-6) Về phương chiều:cosα =RRxΣXΣY=và sinα = y =RRRR(2-7)Ví dụ 2-1Hệ lực phẳng đồng quy gồm các lực có trị số F 1 = F2 = 100N; F3 = 150N;F4 = 200N; góc giữa các lực cho trên hình vẽ. Hãy xác định hợp lực của hệ lựcđóBài giảiChọn hệ trục xOy như hình vẽ. Hình chiếu của hợp lực lên các trục là:Rx = ΣX = F1 + F2 cos50° - F3 cos 60° -F4 cos20°= 100 + 100.0,6428 150.0,5 200.0,9397 = -98,7NRy = ΣY = -F2 sin50° - F3 sin60° + F4 sin20°= -100.0,766 150.0,866 + 200.0,3420 = -138,1N. Trị số của hợp lực R :R =170NR 2x + R 2y=22(-98,7)+ (-138,1)yF4 Phương và chiều của hợp lực R :F1ORy 138,1== 1,4tgα =R x 98,1αSuy ra α = 54° 33.R2.3.Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quyoo80o5070F3Hình ví dụ 2-1Tương tự nhưtrên, muốn hệ lực đồng qui cânbằng thì hợp lực R phải bằng 0.Mà theo phương pháp giải tích, thì:R = (ΣX )2 + (ΣY )2Vì (ΣX )2 vaø(ΣY )2 là những số dương cho nên điều kiện cân bằng là11F2x ΣX = 0ΣY = 0(2-8Vậy: điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là tổng hìnhchiếu của các lực lên hai trục tọa độ đều phải bằng khơng.Hệ phương trình cân bằng này dùng để giải các bài toán cân bằng dưới tácdụng của hệ lực phẳng đồng quy.Ví dụOng trụ đồng chất có trọng lượng P = 60N đặt trên máng ABC hồn tồnnhẵn và vng góc ở B. Mặt BC của máng hợp với mặt nằm ngang góc α = 60°.Hãy xác định các phản lực của máng lên ống ở hai điểm tiếp xúc D và E.Bài giảiTrọng lượng P của ống trụ có phương thẳng đứng, hướng về tâm của trái đấtvà có trị số P = mg = 6.10 = 60N. Mặt khác, ống trụ tựa trênhaimặt nghiêng tạicác điểm tiếp xúc D và E nên có các phản lực tương ứng N D, N E, các phản lựcnày vng góc với các mặt nghiêng BD và BE.Nhưvậy, ống trụ được cân bằng dưới tác dụng của ba lực đồng quy tại O: ( P , N D, N E).Ta có thể giải bài tốn này theo hai phương pháp: hình học và giải tích.a)Phương pháp hình học Vì hệ lực ( P , N D, N E) cân bằng nên tam giác lực của hệ tự đóng kín. Ta dựngtam giác lực đó bằng cách: từ một điểm I bấtkỳvẽvectơlực, từ gốc I và mút KPcủa P kẻ các đường thẳng song song với N D, N E, chúng cắt nhau tại L. Tam giácIKL chính là tam giác lực cần dựng. Trên tam giác lực, đi theo chiều của P ta xácđịnh được chiều của N D và N E. Độ dài mỗi cạnh của tam giác lực biểu thị trị sốcủa các lực tương ứng. Từ đó, ta có:ND = Pcos30o = 60NE = Psin30o = 603= 51,96N21= 30N2b)Phương pháp giải tíchChọn hệ trục x, y như hình vẽ và lập phương trình cân bằng của hệ lực đồngqui.ΣFx = ND - Psin60o = 0(1)xΣFy = -Pcos60 + NE = 0o(2)Giải hệ phương trình này, ta có:NE = 30N và ND = 51,96N.yACOoα=60B12ooEPNE60NENDo30Do30IHình ví dụ 2-2P30KKND Từ ví dụ trên, ta có thể tóm tắt cách giải một bài toán hệ lực phẳng đồng quygồm các bước sau:Bước 1: Phân tích bài tốnĐặt các lực tác dụng lên vật cân bằng được chọn, bao gồm lực đã cho và cácphản lực liên kết.Bước 2: Lập phương trình cân bằng (ở đây chỉ trình bày phương pháp giải tích vìđó là phương pháp thường gặp nhất) Chọn hệ trục tọa độ vng góc thích hợp với bài tốn, có thể chọn tùy ý saocho bài tốn được giảiđơn giản nhất (các trụcsong song hoặc vnggóc với nhiều lực của hệnhất). Viếtphương trìnhAOBF2F1cân bằngRHình 2-10bài tốn vànhận định kết quả (cầnthử lại hoặc liên hệ với đầu bài xem kết quả có phù hợp khơng) GiảiTrường hợp giải ra lực có trị số âm, cần đổi chiều ngược lại.Chương 3: Hệ lực phẳng song song - ngẫu lực Momen của một lựcđối với một điểm.1. Hệ lực phẳng song song.13 1.1Định nghĩaHệ lực phẳng song song là hệ lực nằm trong cùng một mặt phẳng và có cácđường tác dụng song song.1.2.Hợp lực hai lực song song cùng chiềuF2 song song cùng chiều đặt tại hai điểm A và B củaGiả sử có hai lực F1 vàvật, ta cần phải tìm hợp lực R của chúng (h.2-10). Ở đây, ta khơng chứng mìnhmà hỉ nêu kết luận:Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực, có: Phương song song và cùng chiều với hai lực đã cho; Trị số bằng tổng trị số của hai lực, tức:R = F1 + F2 Điểm đặt chia trong đường nối điểm đặt của hai lực thành hai đoạn tỉ lệ nghịchvới trị số của hai lực ấy, tức làFFR= 1 = 2AB OB OA(2-10)Chú ý:Vectơ hợp lực R luôn luôn nằm ở trong đoạn AB và ở gần lực có trị số lớn.Ví dụỞ hai đầu thanh AB dài 0,6m người ta treo hai vật có tảitrọng PA = 60kN và PB = 20kN. Xác đònh điểm đỡ O để thanhAB nằm ngang.Bài giảiĐể cho thanh AB nằm ngang thì điểm đỡ O chính là điểm đặt hợp lực R của PA , PB .Theo cơng thức hợp lực của hai lực song song cùng chiều, ta có:R = PA + PB = 60 + 20 = 80kNVàPBR=ABOA OA =AB x PB0,6x2= 0,15m=R80Ví dụTrên dầm AB dài l = 7m treo vật nặng có trong lượng P = 14kN. Hỏi phải treo vậtcách gối A bao nhiêu để áp lực tác dụng lên gối A có trị số là FA = 5kN?a)b)OAPABPB14Hình ví dụ 2-3BOAPBPAR Bài giảiNếu áp lực lên gối A là FA = 5kN thì áp lực lên gối B là:FB = P - FA = 14 5 = 9kNTheo công thức hợp lực của hai lực song songcùng chiều, ta có:x=FP= BABxAB x FB7x9== 4,5mP14F21.3.Hợp lực của hai lực song song ngược chiềuF2 song song ngượcGiả sử có hai lực F1 vàchiềuđặt ở A và B (F1 > F2). Ta phải tìm hợp lựcR của chúng (h.2-11). Ở đây, ta cũng khôngchứng minh mà chỉ nêu kết luận:có:CABRF1Hình ví dụ 25Hai lực song song ngược chiều khơng cùng trị số có hợp lực là một lực R , Phương song song và cùng chiều với lực có trị sốlớn; Trị số bằng hiệu trị số của hai lực:R = F1 F2 Điểm đặt chia ngoài đường nối điểm đặtcủa hai lực đã cho thành hai đoạn tỉ lệnghịch với trị số của hai lực đã cho ấy (nằmphía ngồi lực có trị số lớn)FFR= 1 = 2AB OB OAOABxFAPFBHình ví dụ 2-4(2-11)Trường hợp đặc biệt, nếu F1 = F2 thì R= F1 F2 = 0, hệ lực thu về ngẫu lực, ta sẽ xét ở phần thứ III.F2Ví dụOHai lực song song ngược chiều có F 1 =30kN, F2 =20kN, AB = 0,2m. Hãy xác định hợplực của 2 lực ấy.ABRBài giảiTheo cơng thức hợp lực song song ngượcchiều, ta có:R = F1 F2 = 30 20 = 10kN.15F1Hình 2-11