Giải và biện luận phương trình ax 2+bx+c=0 tin học

Giải và biện luận phương trình bậc 2 là dạng toán quan trọng, không chỉ xuất hiện trong các đề thi học kì, đề thi HSG mà còn xuất hiện cả trong các bài tập Tin học, lập trình.

Xem thêm: Phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

1. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2

Để giải và biện luận phương trình bậc 2, chúng ta tính $\Delta$ và dựa vào đó để biện luận. Chú ý rằng, trong thực tế chúng ta thường gặp bài toán tổng quát: Giải và biện luận phương trình $ax^2+bx+c=0$ với hệ số $a$ có chứa tham số. Lúc đó, quy trình giải và biện luận như sau.

Bài toán: Giải và biện luận phương trình $ax^2+bx+c=0$

Chúng ta xét 2 trường hợp chính:

• Trường hợp 1. Nếu $a=0$ thì phương trình $ax^2+bx+c=0$ trở thành $$bx+c=0$$ Đây chính là dạng phương trình bậc nhất $ax+b=0$ đã biết cách giải. Các em học sinh xem chi tiết tại Giải và biện luận phương trình ax+b=0
• Trường hợp 2. Nếu $a\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có: $$\Delta=b^2-4ac$$ Chúng ta lại xét tiếp 3 khả năng của $\Delta$:
  • $\Delta<0$: Phương trình vô nghiệm;
  • $\Delta=0$: Phương trình có một nghiệm $ x=\frac{-b}{2a}$, đôi khi ta còn gọi là nghiệm kép;
  • $\Delta>0$: Phương trình có hai nghiệm (phân biệt), đặt là $ x_1,x_2$ được tính bởi $$ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. $$

Cuối cùng, chúng ta tổng hợp các trường hợp lại thành một kết luận chung.

2. Ví dụ Giải và biện luận phương trình bậc 2

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$2x^2+3x+m-5=0$$

Hướng dẫn. Chúng ta có có $ \Delta=3^2-4\cdot 2\cdot(m-5)=49-8m$. Do đó, có 3 trường hợp sau:

• Trường hợp 1. Nếu $ \Delta <0 \Leftrightarrow m>\frac{49}{8}$ thì phương trình vô nghiệm.
• Trường hợp 2. Nếu $ \Delta =0 \Leftrightarrow m=\frac{49}{8}$ thì phương trình có một nghiệm $ x=-\frac{3}{4}$.
• Trường hợp 3. Nếu $ \Delta >0 \Leftrightarrow m<\frac{49}{8}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ x=\frac{-3\pm\sqrt{49-8m}}{4}.$$

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$x^2-x+m=0.$$

Hướng dẫn. Chúng ta có $ \Delta=(-1)^2-4m=1-4m$ và xét 3 trường hợp:

• Trường hợp 1. Nếu $ \Delta <0 \Leftrightarrow m>\frac{1}{4}$ thì phương trình vô nghiệm.
• Trường hợp 2. Nếu $ \Delta =0 \Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$ thì phương trình có một nghiệm $ x=-\frac{1}{2}$.
• Trường hợp 3. Nếu $ \Delta >0 \Leftrightarrow m<\frac{1}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ x=\frac{1\pm\sqrt{1-4m}}{2}.$$

Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$(m-1)x^2+3x+5=0$$

Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp chính:

• Trường hợp 1. Nếu $ m-1=0 \Leftrightarrow m=1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2+3x+5=0 \Leftrightarrow x=-\frac{5}{3} $$
• Trường hợp 2. Nếu $ m-1\ne 0 \Leftrightarrow m\ne 1$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $$ \Delta=3^2-4\cdot 5\cdot(m-1)=29-20m $$ Trường hợp này lại có 3 khả năng sau:
  • $ \Delta<0 \Leftrightarrow m>\frac{29}{20}$ thì phương trình vô nghiệm;
  • $ \Delta=0 \Leftrightarrow m=\frac{29}{20}$ thì phương trình có một nghiệm $ x=-\frac{3}{2(m-1)}=-\frac{10}{3}$;
  • $ \Delta>0 \Leftrightarrow m<\frac{29}{20}$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt $ x=\frac{-3\pm \sqrt{29-20m}}{2(m-1)}$.

Tóm lại, chúng ta có kết luận sau:

• $ m>\frac{29}{20}$: Phương trình vô nghiệm;
• $ m=\frac{29}{20}$ hoặc $ m=1$: Phương trình có một nghiệm;
• $ m<\frac{29}{20}$ và $ m\ne 1$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$mx^2+2mx+m-4=0$$

Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp chính:

• Trường hợp 1. Nếu $ m=0$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2+0x-4=0$$ Phương trình này rõ ràng vô nghiệm.
• Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $$ \Delta’=m^2-m(m-4)=4m. $$ Vì $ m\ne 0$ nên trường hợp này lại có 2 khả năng sau:
  • $ \Delta<0 \Leftrightarrow m<0$ thì phương trình vô nghiệm;
  • $ \Delta>0 \Leftrightarrow m>0$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt $ x=\frac{-m\pm \sqrt{4m}}{m}$.

Như vậy, chúng ta có kết luận sau:

• $ m\leqslant 0$: Phương trình vô nghiệm;
• $ m>0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 5. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$(m^2-1)x^2+6(m-1)x+9=0$$

Hướng dẫn. Chúng ta xét 2 trường hợp chính:

• Trường hợp 1. Nếu $ m^2-1=0 \Leftrightarrow m=\pm 1$. Đến đây, có hai khả năng:
  • Nếu $ m=1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2+0x+9=0 $$ Phương trình này rõ ràng vô nghiệm.
  • Nếu $ m=-1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2-12x+9=0 $$ Phương trình này có nghiệm $ x=\frac{3}{4}$.
• Trường hợp 2. Nếu $ m\ne \pm 1$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $$ \Delta’=9(m-1)^2-9\cdot (m^2-1) =18-18m$$ Chúng ta lại thấy trường hợp này có 3 khả năng:
  • Nếu $ \Delta<0 \Leftrightarrow m>1$ thì phương trình vô nghiệm;
  • Nếu $ \Delta=0 \Leftrightarrow m=1$, khả năng này không xảy ra vì chúng ta đang xét trường hợp 2 có điều kiện là $ m\ne \pm 1;$
  • Nếu $ \Delta >0 \Leftrightarrow m<1$, phương trình có 2 nghiệm phân biệt $ x=-3(m-1)\pm\sqrt{18-18m}$.

Tóm lại, chúng ta có kết luận sau:

• Khi $ m \geqslant 1$: Phương trình vô nghiệm;
• Khi $ m=-1$: Phương trình có một nghiệm;
• Khi $ m<1$ và $ m\ne -1$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 6. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$(m^2-4)x^2+3mx-6=0$$

Hướng dẫn. Chúng ta

Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hai đồ thị hàm số $y = -x^2 – 2x + 3$ và $y = x^2 – m$ có điểm chung?

Hướng dẫn. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = -x^2 – 2x + 3$ và $y = x^2 – m$ là nghiệm của phương trình $$y = -x^2 – 2x + 3= x^2 – m$$ Do đó, hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm.

3. Tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm, 4 nghiệm…

Ngoài việc biện luận phương trình bậc hai, chúng ta còn gặp một số phương trình quy về bậc 2. Cụ thể xin xem trong ví dụ sau:

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt $$(x^2 – 3x + m)(x – 1) = 0$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \begin{align} \left[\begin{array}{lr} x-1=0&(1)\\ x^2 – 3x + m=0&(2)
\end{array}\right. \end{align}

Rõ ràng rằng phương trình đã cho luôn có một nghiệm $x=1$. Do đó, phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt và khác $1$. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta = 9-4m >0\\ 1^2-3+m\ne 0
\end{cases} $$ Giải hệ này tìm được điều kiện $ m<\frac{9}{4}$ và $ m\ne 2.$

Ví dụ 2. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt $$x^3-3mx^2+2mx+m-1= 0$$

Hướng dẫn. Chúng ta đoán được phương trình $x^3-3mx^2+2mx+m-1= 0$ có nghiệm $x=1$ nên phân tích phương trình đã cho thành $$\left( x-1\right) \left( x^{2}+\left( 1-3m\right) x-m+1\right) =0$$

Do đó, phương trình đã cho tương đương với \begin{align} \left[\begin{array}{lr} x-1=0&(1)\\ x^{2}+\left( 1-3m\right) x-m+1=0&(2) \end{array}\right. \end{align} Do đó, phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác $1$. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta = (1-3m)^2-4(1-m) >0\\ 1^2+(1-3m)-m+1\ne 0 \end{cases} $$ Giải hệ này tìm được điều kiện $ m<\frac{1-2\sqrt{7}}{9}$ hoặc $ m>\frac{1+2\sqrt{7}}{9}.$

Ví dụ 3. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$\frac{x^2-2x+m}{x-3} = 0$$

Hướng dẫn. Ta có điều kiện xác định của phương trình là $x\ne 3$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$x^2-2x+m=0(*)$$ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện, tức phải khác $3$. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta = 2^2-4m >0\\ 3^2-2\cdot 3+m\ne 0 \end{cases} $$ Từ đó tìm được đáp số

Ví dụ 4. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$\frac{mx^2-2(m-1)x+m}{\sqrt{x – 2}} = 0$$

Hướng dẫn. Ta có điều kiện xác định là $x>2$. Cần tìm điều kiện để phương trình $mx^2-2(m-1)x+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện $x>2$.

Ví dụ 5. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt $$x^4-3mx^2+5= 0$$

Hướng dẫn. Ta đặt $t=x^2$ thì có điều kiện của $t$ là $t>0$. Phương trình đã cho trở thành phương trình bậc 2 ẩn $t$ $$t^2-3mt+5$$ Nhận thấy rằng với mỗi nghiệm $t>0$ thì tìm được 2 nghiệm $x$ là $\pm\sqrt{t}$. Nên, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ẩn $t$ có 2 nghiệm $t$ phân biệt và dương. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta >0\\ S>0\\ P>0 \end{cases} $$