- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
- LG bài 3
- LG bài 4
- LG bài 5
Đề bài
Bài 1:Giải phương trình :
a] \[{x^2} - 2 = 5\sqrt {{x^2} - 2} - 6\]
b] \[\sqrt {1 + 4x - {x^2}} = x - 1.\]
Bài 2:Tìm m để phương trình \[{x^2} - 2x + m - 8 = 0\] có hai nghiệm x1, x2và thỏa mãn \[3{x_1} - {x_2} = 0.\]
Bài 3:Tìm m để phương trình \[{x^2} - 2mx + m - 1 = 0\] có hai nghiệm x1, x2và \[x_1^2 + x_2^2\] đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4:Cho parabol [P] : \[y = - {1 \over 2}{x^2}.\] Viết phương trình đường thẳng [d] qua điểm \[M[ 1; 1]\] và [d] tiếp xúc với [P].
Bài 5:Một khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng \[{1 \over 3}\] chiều dài và có diện tích bằng 507m2. Tính chu vi của khu vườn.
LG bài 1
Phương pháp giải:
a.Đặt ẩn phụ: \[u = \sqrt {{x^2} - 2} \]
b.Sử dụng: \[\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B \ge 0}\\{A = {B^2}}\end{array}} \right.\]
Lời giải chi tiết:
:a] Đặt \[u = \sqrt {{x^2} - 2} ,\] điều kiện \[\left[ \matrix{ x \ge \sqrt 2 \hfill \cr x \le - \sqrt 2 \hfill \cr} \right.;u \ge 0 \Rightarrow {u^2} = {x^2} - 2\]
Ta có phương trình : \[{u^2} = 5u - 6 \Leftrightarrow {u^2} - 5u + 6 = 0 \]
\[\Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {{\rm{u}} = 2\left[ {{\text{nhận}}} \right]} \cr {{\rm{u}} = 3\left[ {{\text{nhận}}} \right]} \cr } } \right.\]
+] \[{x^2} - 2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 6 \]
+] \[{x^2} - 2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {11} .\]
b] \[\sqrt {1 + 4x - {x^2}} = x - 1 \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 1 \ge 0 \hfill \cr 1 + 4x - {x^2} = {x^2} - 2x + 1 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1 \hfill \cr 2{x^2} - 6x = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1 \hfill \cr \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 3.\]
LG bài 2
Phương pháp giải:
+Phương trình có nghiệm x1,x2\[\Leftrightarrow 0 \]
+Sử dụng hệ thức vi-ét để tìm tổng và tích hai nghiệm
\[{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\]
+Giải hệ gồm biểu thức ban đầu và tổng 2 nghiệm ta tìm được 2 nghiệm, thế vào tích hai nghiệm ta tìm được m
Lời giải chi tiết:
Phương trình có nghiệm x1,x2\[\Leftrightarrow 0 \Leftrightarrow 9 m 0\Leftrightarrow m 9.\]
Theo định lí Vi-ét, ta có : \[{x_1} + {x_2} = 2;\,\,\,\,{x_1}{x_2} = m - 8\]
Xét hệ : \[\left\{ \matrix{ 3{x_1} - {x_2} = 0 \hfill \cr {x_1} + {x_2} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_1} = {1 \over 2} \hfill \cr {x_2} = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Khi đó : \[{x_1}{x_2} = {1 \over 2}.{3 \over 2} = {3 \over 4} \]\[\;\Leftrightarrow m - 8 = {3 \over 4} \Leftrightarrow m = 8{3 \over 4}\][ nhận].
LG bài 3
Phương pháp giải:
Phương trình có nghiệm\[ \Leftrightarrow 0 \]
Sử dụng hệ thức vi-ét để tìm tổng và tích hai nghiệm
\[{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\]
Biến đổi biểu thức đã cho về tổng và tích hai nghiệm rồi thế hệ thức Vi-ét vào biểu thức trên
Đánh giá ta tìm được GTNN
Lời giải chi tiết:
Phương trình có nghiệm\[ \Leftrightarrow 0 \Leftrightarrow m^2 m + 1 0\] [ luôn đúng với mọi m vì \[{m^2}-{\rm{ }}m{\rm{ }} + 1{\rm{ }} = {\left[ {m - {1 \over 2}} \right]^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}\]
Ta có :
\[x_1^2 + x_2^2 = {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 2{x_1}{x_2} \]\[\;= 4{m^2} - 2m + 2 \]\[\;= {\left[ {2m - {1 \over 2}} \right]^2} + {7 \over 4} \ge {7 \over 4}\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của\[x_1^2 + x_2^2\] bằng \[{7 \over 4}.\]
Dấu = xảy ra \[\Leftrightarrow 2m - {1 \over 2} = 0 \Leftrightarrow m = {1 \over 4}.\]
LG bài 4
Phương pháp giải:
Phương trình đường thẳng [d] có dạng : \[y = ax + b \;[ a\ne 0]\]
Cho [d] đi qua M
Phương trình hoành độ giao điểm [ nếu có] của [P ] và [d]
[P ] và [d] tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm kép\[ \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \]
Giải ra ta tìm được a, từ đó tìm b
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng [d] có dạng : \[y = ax + b \;[ a\ne 0]\]
\[M \in [d]\Leftrightarrow 1 = a + b\Leftrightarrow b = 1 + a.\] Vậy \[y = ax + a +1.\]
Phương trình hoành độ giao điểm [ nếu có] của [P ] và [d] :
\[ - {1 \over 2}{x^2} = ax + a + 1\]
\[\Leftrightarrow {x^2} + 2ax + 2a + 2 = 0\,\,\,\,\left[ * \right]\]
[P ] và [d] tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình [*] có nghiệm kép
\[ \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2a - 2 = 0 \]
Ta có:\[\Delta _a^{'} = {\left[ { - 1} \right]^2} - 1.\left[ { - 2} \right] = 3\]
\[\;\Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 3 \]
Phương trình đường thẳng [d] : \[y = \left[ {1 \pm \sqrt 3 } \right]x + 2 \pm \sqrt 3 .\]
LG bài 5
Phương pháp giải:
Bước 1:Lập phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn tất cả các đại lượng khác qua ẩn vừa chọn.
+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2:Giải phương trình
Bước 3:Đối chiếu điều kiện rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
Bài5:Gọi \[x\] là chiều dài của khu vườn [ \[x > 0;\; x \] tính bằng m], thì chiều rộng là \[{1 \over 3}x\] . Ta có phương trình :
\[{1 \over 3}x.x = 507 \Leftrightarrow {x^2} = 1521\]\[\; \Leftrightarrow x = \pm 39\]
Vì \[x > 0\], nên ta lấy \[x = 39\].
Khi đó chu vi là : \[2\left[ {39 + {1 \over 3}.39} \right] = 104\left[ m \right]\]
Vậy chu vi là \[104\] [ m].