Đề bài
Cho nửa đường tròn [O] đường kính AB. M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Kẻ MH AB [H AB]. Vẽ đường tròn [M; MH]. Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn [M] [C, D là các tiếp điểm]
a. Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của [O]
b. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên [O] thì AC + BD không đổi.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a. Sử dụng
+Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
+Đường trung bình của hình thang
b.Sử dụng: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
=>Chứng minh tổng bằng đường kính
Lời giải chi tiết
a. Ta có: AC, AH là tiếp tuyến của đường tròn [M; MH] nên MA là phân giác của góc \[\widehat {CMH}\] hay \[\widehat {CMA} = \widehat {AMH}\]
Tương tự MB là phân giác của \[\widehat {DMH} \Rightarrow \widehat {HMB} = \widehat {BMD}\]
mà \[\widehat {AMH} + \widehat {HMB} = \widehat {AMB} = 90^\circ \] [AB là đường kính]
\[ \Rightarrow \widehat {CMA} + \widehat {AMH} + \widehat {HMB} + \widehat {BMD}\]\[\, = 180^\circ \] hay ba điểm C, M, D thẳng hàng \[ CA // BD [ CD]\] hay tứ giác ABCD là hình thang vuông, có OM là đường trung bình nên OM // AC // BD \[ OM CD.\]
Chứng tỏ CD là tiếp tuyến của [O]
b. Ta có: \[AC = AH, BD = BH\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
\[ AC + BD = AH + BH = AB\]\[ = 2R\] không đổi.