Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] với ba đường trung tuyến \[AD, BE, CF\]. Chứng minh rằng
\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} = 0\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào quy tắc trung điểm - vecto, thay các vecto AD, BE, CF bởi tổng 2 vecto khác chung gốc.
Lời giải chi tiết
Vì D là trung điểm của BC nên \[\overrightarrow {AD} = {1 \over 2}[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ]\]
Tương tự vì E, F là trung điểm của AC, AB nên:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {BE} = {1 \over 2}[\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ] \cr
& \overrightarrow {CF} = {1 \over 2}[\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ] \cr} \]
Do đó \[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} \]
\[\eqalign{
& = {1 \over 2}\overrightarrow {BC} [\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ] + {1 \over 2}\overrightarrow {CA} [\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ] \cr&+ {1 \over 2}\overrightarrow {AB} [\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ] \cr
& = {1 \over 2}[\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} \cr&+ \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} ]\cr
& = {1 \over 2}[\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} ] \cr&+ {1 \over 2}[\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} ] \cr&+ {1 \over 2}[\overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} ]\cr} \]
\[\begin{array}{l}
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} } \right]\\
+ \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \left[ {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right]\\
+ \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \left[ {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} } \right]\\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BB} \\
= 0 + 0 + 0\\
= 0
\end{array}\]
[điều phải chứng minh]