Đề bài
Chứng minh rằng \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \]khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \[AD\] và \[BC\] trùng nhau.
Lời giải chi tiết
Giả sử \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \] và \[M, N\] lần lượt là trung điểm của \[AD,BC\].
Ta có \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow 0 \]
\[\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \]\[\Rightarrow - \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 \]\[\Leftrightarrow - \left[ {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right] = \overrightarrow 0 \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 \]
và \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN}\]
\[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \]
Suy ra
\[\eqalign{
& 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} \cr&= \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \cr
&= \left[ {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} } \right] + \left[ {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right] + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} \cr
&= \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} \cr&= \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} \cr
& = \overrightarrow 0 \cr} \]
Do đó, \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 \], tức là \[M \equiv N\].
Vậy trung điểm của hai đoạn thẳng \[AD\] và \[BC\] trùng nhau.
Ngược lại, ta giả sử trung điểm của hai đoạn thẳng \[AD\] và \[BC\] trùng nhau, suy ra
\[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow 0 ,\,\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \]
Suy ra \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} \]\[ = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {CD} \].
Cách khác:
Ta chứng minh hai mệnh đề.
a] Cho \[\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\]thì \[AD\] và \[BC\] có trung điểm trùng nhau.
Gọi \[I\] là trung điểm của \[AD\] ta chứng minh \[I\] cũng là trung điểm của \[BC\].
Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có
\[\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}\];
\[\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\]
Vì \[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\]nên\[\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}\]
\[\Rightarrow\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}\] [1]
Vì \[I\] là trung điểm của \[AD\] nên \[\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra\[\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \] [3]
Đẳng thức [3] chứng tỏ \[I\] là trung điểm của \[BC\].
b] \[AD\] và \[BC\] có cùng trung điểm \[I\], ta chứng minh\[\overrightarrow{AB}\]=\[\overrightarrow{CD}\].
\[I\] là trung điểm của \[AD\] \[\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\] \[\Rightarrow\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}\]
\[I\] là trung điểm của \[BC\] \[\Leftrightarrow \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \]\[\Rightarrow \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}= \overrightarrow{0}\] \[\Rightarrow \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}\]
Suy ra \[\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID}= \overrightarrow{CI}- \overrightarrow{IB}\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\] \[\Rightarrow \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\] [đpcm]
Chú ý:
Các em có thể trình bày ngắn gọn như sau:
Gọi \[M,N\] là trung điểm của \[AD,BC\] ta có: \[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MD} ,\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {NC} \]
Do đó,
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MD} \\ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {MD} } \right] + \left[ {\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {NM} } \right] + \left[ {\overrightarrow {NB} - \overrightarrow {CN} } \right] = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow 0 + \left[ {\overrightarrow {MM} + \overrightarrow {MN} } \right] + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow M \equiv N\end{array}\]