Đề bài - bài 3.30 trang 151 sbt hình học 11

Đề bài

Tứ diện SABC có ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh Bvà , có cạnh SAvuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.

a) Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

b) Trong mặt phẳng (SAB) vẽ AH vuông góc với SB tại H, chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\)

c) Tính độ dài đoạn AH.

d) Từ trung điểm Ocủa đoạn AC vẽ OK vuông góc với (SBC) cắt (SBC) tại K. Tính độ dài đoạn OK.

Lời giải chi tiết

a)

\(\displaystyle \left. \matrix{
BC \bot AB \hfill \cr
BC \bot SA \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \) \(\displaystyle \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\)

b) \(\displaystyle AH \bot SB\)mà SB giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc là (SBC) và (SAB) nên \(\displaystyle AH \bot \left( {SBC} \right)\).

c) Xét tam giác vuông SAB với đường cao AH ta có:

\(\displaystyle {1 \over {A{H^2}}} = {1 \over {A{S^2}}} + {1 \over {A{B^2}}} \) \(\displaystyle = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {2{a^2}}} = {3 \over {2{a^2}}}\)

Vậy \(\displaystyle AH = {{a\sqrt 6 } \over 3}\)

d) Vì \(\displaystyle OK \bot \left( {SBC} \right)\)mà \(\displaystyle AH \bot \left( {SBC} \right)\)nên \(\displaystyle OK\parallel AH\), ta có Kthuộc CH.

\(\displaystyle OK = {{AH} \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 6}\).