Đề bài - bài 3.2 phần bài tập bổ sung trang 84 sbt toán 8 tập 1

Đề bài

Hình thang cân \(ABCD\) \((AB// CD)\) có hai đường chéo cắt nhau tại \(I,\) hai đường thẳng chứa các cạnh bên cắt nhau ở \(K.\) Chứng minh rằng \(KI\) là đường trung trực của hai đáy.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình thang cân nên:

\(\eqalign{
& \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\cr
& \Rightarrow \widehat {KDC} = \widehat {KCD} \cr} \)

\( KCD\) cân tại \(K\)

\( KD = KC\) (tính chất)

\( KA + AD = KB + BC\)

Mà \(AD = BC\) (tính chất hình thang cân)

\( KA = KB\)

Xét \( ADC\) và \( BCD \) có:

\(AD = BC\) (chứng minh trên)

\(AC = BD\) (tính chất hình thang cân)

\(CD\) cạnh chung

Do đó: \( ADC = BCD\;\;\; (c.c.c)\)

\( \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\)

\( IDC\) cân tại \(I\)

\( IC = ID\) nên \(I\) thuộc đường trung trực của \(CD\)

\(KC = KD\) nên \(K\) thuộc đường trung trực của \(CD\)

\(K I.\) Vậy \(KI\) là đường trung trực của \(CD.\)

Lại có: \(BD = AC\) (tính chất hình thang cân)

\( IB + ID = IA + IC\) mà \(ID = IC\) (chứng minh trên)

\( IB = IA\) nên \(I\) thuộc đường trung trực \(AB\)

\( KA = KB\) ( chứng minh trên) nên \(K\) thuộc đường trung trực \(AB\)

\(K I.\) Vậy \(KI\) là đường trung trực của \(AB.\)