Công thức tính tiếp tuyến đường tròn

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm. Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn (C) tâm I(a, b), tại điểm M(x0, y0) thuộc (C). Ta có IM = (x0 − a; y0 − b) là véc-tơ pháp tuyến của ∆. Do đó ∆ có phương trình là (x0 − a)(x − x0) + (y0 − b)(y − y0) = 0. BÀI TẬP DẠNG 3. Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 2)2 + (y + 3)2 = 5 tại điểm M(3; −1). Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I(2; −3). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3; −1) là: (3 − 2)(x − 3) + (−1 + 3)(y + 1) = 0 ⇔ x + 2y − 1 = 0. Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3; −1) là x + 2y − 1 = 0. Ví dụ 2. Cho đường tròn (Cm): x2 + y2 + 2(m − 1)x − 2my − 4 = 0. Biết rằng khi m thay đổi, đường tròn (Cm) luôn đi qua điểm I cố định có hoành độ dương. Tìm giá trị của m sao cho tiếp tuyến của đường tròn (Cm) tại I song song với (d): x − 2y − 1 = 0. Lời giải. Giả sử đường tròn (Cm) luôn đi qua điểm I(x0; y0) cố định khi m thay đổi. Khi đó ta có x2 + y2 + 2(m − 1)x0 − 2my0 − 4 = 0 với mọi m ⇔ m(2×0 − 2y0) + x2 + y ⇔ x0 = y0 = −1, x0 = y0 = 2. Vậy ta có điểm I(2; 2). Đường tròn (Cm) có tâm J(1 − m; m). Véc-tơ pháp tuyến của tiếp tuyến của (Cm) tại I là IJ = (−m − 1; m − 2). Để tiếp tuyến tại I song song với (d): x − 2y − 1 = 0 thì tồn tại k sao cho: IJ = k(1; −2) ⇔ −m − 1 = k, m − 2 = −2k ⇔ m = −4, k = 3. Vậy m = −4 thỏa mãn yêu cầu đề bài. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyển của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y − 3)2 = 5 tại điểm M(−1; 1). Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I(−2; 3). Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(−1; 1) là 1(x + 1) − 2(y − 1) = 0 hay x − 2y + 3 = 0. Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 − 2x = 0 tại điểm M(1; 1). Đường tròn (C) có tâm I(1; 0). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 1) là y = 1. Bài 3. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 và đường thẳng (∆): y − x + 1 = 0. Gọi M, N là giao điểm của (C) và (∆). Tìm tọa độ giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn (C) kẻ tại M, N. Tọa độ M, N là giao điểm của hệ phương trình sau y − x + 1 = 0, x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 ⇔ y = x − 2y2 − 4y = 0 ⇔ x = 1; y = 0, x = 3; y = 2. Không mất tổng quát, ta giả sử M(1; 0) và N(3; 2). Đường tròn (C) có tâm I(1; 2). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y = 0. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại N là x = 3. Tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương trình y = 0, x = 3. Vậy tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến là A(3; 0).

Bài 4. Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 + 2x − 2y − 3 = 0 và (C2): x2 + y2 − 4x − 14y + 33 = 0. a) Chứng minh rằng (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau. b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại tiếp điểm. a) Đường tròn (C1) có tâm I(−1; 1) và bán kính R1 = √5. Đường tròn (C2) có tâm J(2; 7) và bán kính R2 = 2√5. Ta có IJ = (2 + 1)2 + (7 − 1)2 = 3√5 = R1 + R2. Do đó (C1) tiếp xúc ngoài với (C2). b) Gọi M là tiếp điểm của (C1) và (C2). Khi đó ta có IJ = 3 IM ⇒ OM = OJ + OI. Suy ra M (0; 3) ⇒ IM = (1; 2). Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại M là x + 2(y − 3) = 0 hay x + 2y − 6 = 0. Bài 5. Cho đường tròn (Cm): x2 + y2 − (m − 2)x + 2my − 1 = 0. a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường tròn (Cm) luôn đi qua điểm cố định. b) Gọi I là điểm cố định ở câu trên sao cho I có hoành độ âm. Tìm m sao cho tiếp tuyến của đường tròn (Cm) tại I song song với đường thẳng (d): x + 2y = 0.

14:35:4227/09/2021

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua 1 điểm cho trước, hay viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm tiếp xúc với đường tròn (C) cũng là một dạng toán trong phương  trình đường tròn mà chúng ta hay gặp.

Khối A (KhoiA) sẽ giới thiệu với các em cách viết viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua một điểm trong bài này một cách ngắn gọn, chi tiết và đẩy đủ để các em tham khảo.

I. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua 1 điểm

Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a; b); bán kính R và điểm M(x0; y0):

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M:

Để viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua 1 điểm ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C)

- Bước 2: Tiếp tuyến (Δ) có vectơ pháp tuyến  và đi qua điểm M(x0; y0) nên (Δ) có dạng: A(x - x0) + B(y - y0) = 0 (với A2 + B2 ≠ 0)

- Bước 3: Vì (Δ) tiếp xúc với (C) nên khoảng cách: d(I;(Δ)) = R.

Giải phương trình này ta tìm được A và B.

II. Bài tập vận dụng viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn đi qua 1 điểm

* Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4; 6).

> Lời giải:

- Đường tròn (C) có tâm I(2; 2) và bán kính 

- Tiếp tuyến ∆ đia qua điểm A(4; 6) và có vectơ pháp tuyến  có phương trình dạng:

 A(x - 4) + B(y - 6) = 0

 ⇔ Ax + By - 4A - 6B = 0 (*)

- Vì ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên khoảng cách: d(I; ∆) = R

 

 

- Nếu b = 0; chọn a = 1 thay vào (*) ta được ∆1: x - 4 = 0.

- Nếu 4a = - 3b ta chọn a = 3 thì b = -4 thay vào (*) ta được ∆2: 3x - 4y + 12 = 0

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: x - 4 = 0 và 3x - 4y + 12 = 0.

* Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 8, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(5; -2).

> Lời giải:

- Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 2√2

- Tiếp tuyến đi qua điểm A(5; -2) và có vectơ pháp tuyến  có phương trình dạng:

 A(x - 5) + B(y + 2) = 0

 ⇔ Ax + By - 5A + 2B = 0 (*)

- Vì ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên khoảng cách: d(I; ∆) = R

⇔ 16A2 = 8(A2 + B2)

⇔ 8A2 = 8B2

⇔ A = B hoặc A = -B

+ Nếu A = B; ta chọn A = 1 ⇒ B = 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x + y - 3 = 0

+ Nếu A = -B; chọn A = 1 thì B = -1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x - y - 7 = 0.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x + y - 3 = 0 và x - y - 7 = 0.

> Lưu ý: Thường người ta phân biệt phương trình tiếp tuyến TẠI 1 điểm (tức điểm này thuộc đường tròn) và ĐI QUA 1 điểm (điểm này không thuộc đường tròn).

Tuy nhiên, đôi khi vẫn xảy ra trường hợp yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm nhưng điểm này lại thuộc đương tròn như câu b) bài 6 trang 84 SGK Hình học 10 sau đây.

* Bài 6 trang 84 SGK Hình học 10: Cho đường tròn C có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1; 0).

> Lời giải:

- Ta có: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = 25

⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25.

Vậy (C) có tâm I(2; –4), bán kính R = 5.

- Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy:

(–1 – 2)2 + (0 + 4)2 = 32 + 42 = 52= R2

⇒ A thuộc đường tròn (C)

Nên tiếp tuyến (d') cần tìm tiếp xúc với (C) tại A, ta áp dụng các viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn.

⇒ (d') là đường thẳng đi qua A(-1; 0) và vuông góc với IA nên nhận

 là VTPT.

⇒ phương trình (d') có dạng: 3(x + 1) – 4(y - 0)= 0

⇔ 3x – 4y + 3 = 0.

Như vậy, ta dễ dàng kiểm tra nhanh xem điểm đó có thuộc đường tròn hay không bằng cách thay tọa độ điểm đó vào PT đường tròn để biết cách vận dụng viết PTTT tại 1 điểm hay đi qua 1 điểm.

> Lưu ý: Qua 1 điểm cho trước (điểm này không thuộc đường tròn) ta luôn tìm được 2 phương trình đường thẳng đi qua điểm này và tiếp xúc với đường tròn.

Như vậy KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về cách viết về cách viết phương trình tiếp tuyến của đương tròn đi qua 1 điểm, hy vọng giúp các em hiểu bài hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.