Để tìm cực trị ta có 2 cách đó là dùng bảng biến thiên và biện luận đạo hàm cấp 2. Mời bạn cùng theo dõi
Cách tìm cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f[x] có tập xác định là K.
Cách 1:
Lưu ý: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
- Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm [-] sang dương [+] thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.
- Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương [+] sang âm [-] thì đó là điểm cực đại của hàm số.
Cách 2:
Lưu ý:
- Tại điểm xi cho giá trị f″[xi] < 0 thì điểm đó là cực đại của hàm số.
- Tại điểm xi cho giá trị f″[xi] > 0 thì điểm đó là cực tiểu của hàm số.
Bài tập cực trị của hàm số có giải chi tiết
Bài tập 1. [Trích câu 4 đề thi minh họa 2021 của BGD&ĐT] Cho hàm số $f[x]$ có bảng biến thiên như sau:
Điềm cực đại của hàm số đã cho là:
A.$x=-3$.
B.$x=1$.
C.$x=2$.
D.$x=-2$.
Hướng dẫn giải
Chọn câu D
Vì ${f}'[x]$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi hàm số qua $x=-2$ nên ${{x}_{CD}}=-2.$
Bài tập 2.Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0.
B.Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại x = 0.
C.Hàm số đạt cực đại tại x = – 2 và cực tiểu tại x = 0.
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0và cực tiểu tại x = – 2.
Hướng dẫn giải
Chọn B
$y’ = 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.$
Lập bảng biến thiên ta được hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ và đạt cực tiểu tại $x = 0$
Bài tập 3. [Trích câu 5 đề thi minh họa 2021 của BGD&ĐT]. Cho hàm số $f[x]$ có bảng xét dấu của đạo hàm ${{f}^{\prime }}[x]$ như sau:
Hàm số $f[x]$ có bao nhiêu điềm cực trị?
A.4.
B.1.
C.2.
D.3.
Hướng dẫn giải
Chọn câu A
Ta thấy ${f}'[x]$ đổi dấu khi qua cả bốn số $x=-2,x=1,x=3,x=5$ nên chúng đều là các điểm cực trị của hàm số $f[x].$
Bài tập 4. Cho hàm số $y = {x^4} – 2{x^2} + 3$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có ba điểm cực trị.
B. Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực trị.
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị.
Hướng dẫn giải
Chọn A
$y’ = 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = – 1 \end{array} \right.$
$y[0] = 3;{\text{ }}y[1] = y[ – 1] = 2$ nên hàm số có hai cực trị.
Bài tập 5. Cho hàm số $y = {x^3} + 17{x^2} – 24x + 8$ . Kết luận nào sau đây là đúng?
A. ${x_{CD}} = 1.$
B. ${x_{CD}} = \frac{2}{3}.$
C. ${x_{CD}} = – 3.$
D. ${x_{CD}} = – 12.$
Hướng dẫn giải
Chọn D
$y’ = 3{x^2} + 34x – 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 12\\ x = \frac{2}{3} \end{array} \right.$
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = – 12$ .
Bài tập 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại $x = \frac{3}{2}$ ?
A. $y = \frac{1}{2}{x^4} – {x^3} + {x^2} – 3x.$
B. $y = \sqrt { – {x^2} + 3x – 2} .$
C. $y = \sqrt {4{x^2} – 12x – 8} .$
D. $y = \frac{{x – 1}}{{x + 2}}.$
Hướng dẫn giải
Chọn B
Hàm số $y = \sqrt { – {x^2} + 3x – 2} $ có $y’ = \frac{{ – 2x + 3}}{{2\sqrt { – {x^2} + 3x – 2} }}$ và $y’$ đổi dấu từ “+” sang “-” khi $x$ chạy qua
$\frac{3}{2}$ nên hàm số đạt cực đại tại .
Dùng casio kiểm tra: $\left\{ \begin{array}{l} y’\left[ {\frac{3}{2}} \right] = 0\\ y”\left[ {\frac{3}{2}} \right] < 0 \end{array} \right.$ thì hàm số đạt cực đại tại 1,5 .
Bài tập 7. Cho hàm số $y = {x^7} – {x^5}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng
A. Hàm số có đúng 1 điểm cực trị.
B. Hàm số có đúng 3 điểm cực trị .
C. Hàm số có đúng hai điểm cực trị.
D. Hàm số có đúng 4 điểm cực trị.
Hướng dẫn giải
Chọn C
$y’ = 7{x^6} – 5{x^4} = {x^4}[7{x^2} – 5] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm \sqrt {\frac{5}{7}} \end{array} \right.$ .
$y’$ chỉ đổi dấu khi $x$ chạy qua $ \pm \sqrt {\frac{5}{7}} $ nên hàm số có hai điểm cực trị.
Bài tập 8. [Trích câu 39 đề thi minh họa 2021 của BGD&ĐT]. Cho hàm số $f[x]$, đồ thị của hàm số $y={{f}^{\prime }}[x]$ là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số $g[x]=f[2x]-4x$ trên đoạn $\left[ -\frac{3}{2};2 \right]$ bằng
A.$f[0]$.
B.$f[-3]+6$.
C.$f[2]-4$.
D.$f[4]-8$.
Hướng dẫn giải
Chọn câu C
Đặt $2x=t$ thì $t\in [-3;4]$ và ta đưa về xét $h[t]=f[t]-2t.$ Ta có ${h}'[t]={f}'[t]-2$ nên dựa vào đồ thị đã cho thì ${h}'[t]=0$ có hai nghiệm $t=0,t=2,$ trong đó ${f}'[t]-2$ lại không đổi dấu khi qua $t=0,$ còn ${h}'[t]$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $t=2$
Lập bảng biến thiên cho$h[t]$ trên $[-3;4],$ ta có $\max h[t]=h[2]=f[2]-4.$
Bài tập 9. [Trích câu 46 đề thi minh họa 2021 của BGD&ĐT]. Cho $f[x]$ là hàm số bậc bốn thỏa mãn $f[0]=0$. Hàm số ${{f}^{\prime }}[x]$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số $g[x]=\left| f\left[ {{x}^{3}} \right]-3x \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A.3.
B.5.
C.4.
D.2.
Hướng dẫn giải
Chọn câu A
Ta có ${f}'[x]$ bậc ba có $2$ điểm cực trị là $x=-3,x=-1$ nên ${{f}’}'[x]=a[x+3][x+1].$
Suy ra ${f}'[x]=a[\frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x]+b$.
Từ $f[-3]=-1$ và $f[-1]=-\frac{61}{3},$ giải ra $a=\frac{29}{2},b=-1$
hay ${f}'[x]=\frac{29}{2}[\frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x]-1.$
Do đó ${f}'[0]=-1