Công thức diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình nón
Cùng tìm hiểu và ôn lại công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cùng Quantrimang.com trong bài viết dưới đây nhé. Show Mục lục bài viết
Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầuMặt cầu là gì?Mặt cầu là quỹ tích những điểm cách đều điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi r trong không gian 3 chiều. Điểm O gọi là tâm và khoảng cách r gọi là bán kính của mặt cầu. Khối cầu là gì?Khối cầu là tập hợp những điểm nằm trong mặt cầu và mặt cầu được gọi là hình cầu hay khối cầu có tâm O bán kính là r = OA. Công thức tính diện tích mặt cầuDiện tích mặt cầu bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn, bằng bốn lần hằng số Pi nhân với bình phương bán kính của hình cầu. Công thức tính thể tích hình cầu:Thể tích hình cầu hay còn được gọi là thể tích khối cầu được tính bằng ba phần tư của Pi nhân với lập phương bán kính hình cầu. Trong đó:
Ví dụ về tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầuBài 1: Cho hình tròn có chu vi là 31,4 cm. Hãy tính thể tích hình cầu có bán kính bằng bán kính của hình tròn vừa cho. Giải: Chu vi hình tròn C = 2πr = 31.4 cm => Bán kính r = C/2π = 5 cm Thể tích khối cầu đã cho là: V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.(5)³ = 523,3 cm³ Bài 2: Tính thể tích khối cầu có đường kính d = 4 cm. Giải: Bán kính r = d/2 = 2 cm Thể tích khối cầu là: V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.(2)³ = 33,49 cm³ Bài 3: Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng bao nhiêu? Giải: Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a. Thể tích khối cầu là: Bài 4: Mặt cầu có bán kính R√3 có diện tích là: A. 4√3πR2 . B. 4πR2 . C. 6πR2 . D. 12πR2 . Giải: Áp dụng công thức: S = 4πR2 Diện tích mặt cầu có bán kính R√3 là: Chọn D. Hai công thức ngắn gọn thôi nhưng để nhớ lâu dài thì cũng tương đối khó đấy. Bookmark bài viết và mở ra khi bạn cần nhé. Hi vọng bài viết hữu ích với bạn. Ngoài công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu ở trên, các bạn có thể tham khảo thêm công thức tính diện tích của một số hình cơ bản khác như hình tam giác, hình chữ nhật, hình bình hành... Lý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác ngoại tiếp đường tròn Bài toán: Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón $\Rightarrow R=OI,r=IB,h=SI$ Ta có $\Delta SEO\sim\Delta SIB\Rightarrow \frac{OE}{IB}=\frac{SO}{SB}\Rightarrow \frac{R}{r}=\frac{h-R}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}}$ Vậy mối liên hệ cần tìm là $$ Hình nón nội tiếp hình cầuLý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác nội tiếp đường tròn Bài toán: Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón Ta có ${{x}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}$ mà $x=h-R\Rightarrow {{\left( h-R \right)}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}$ Vậy mối liên hệ cần tìm là $$ Hình nón ngoại tiếp hình trụLý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác ngoại tiếp hình chữ nhật, cụ thể là tam giác SAB (thiết diện qua trục hình nón) và hình chữ nhật MNPO (thiết diện qua trục hình trụ) Bài toán: Gọi R, h, R’, H’ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao hình nón; bán kính đáy và chiều cao hình trụ $\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} R=IA \\ {} h=SI \\ \end{array} \right.;\left\{ \begin{array} {} R'=IN \\ {} h=OI \\ \end{array} \right.$ Ta có $\Delta AMN\sim\Delta ASI\Rightarrow \frac{MN}{SI}=\frac{AN}{AI}\Rightarrow \frac{h'}{h}=\frac{R-R'}{R}$ Vậy mối liên hệ cần tìm là $$
Lời giải chi tiết Theo bài ra, ta có R = 5 cm, r = 2 cm Chiều cao của khối nón là $h=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{21}cm$ Vậy thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{4\sqrt{21}\pi }{3}\approx 19,20c{{m}^{3}}$. Chọn B.
Lời giải chi tiết Bán kính đáy hình nón là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$ Chiều cao hình nón là $h=OT+OH=R+h$ Vậy thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{\pi \left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( R+h \right)}{3}$ Chọn C.
Lời giải chi tiết Bài toán: Hình nón ngoại tiếp hình cầu $\Rightarrow R=\frac{rh}{r+\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}}=\frac{6.8}{6+\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}}=3$ Chọn D.
Lời giải chi tiết Bài toán: Hình nón nội tiếp hình cầu. Ta có ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{x}^{2}}$, với r là bán kính đáy hình nón Chiều cao hình nón là $h=x+R$. Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi \left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right).\left( x+R \right)$ Lại có $V=\frac{\pi }{6}.\left( 2R-2x \right).\left( R+x \right).\left( R+x \right)\le \frac{\pi }{6}.\frac{{{\left( 2R-2x+R+x+R+x \right)}^{3}}}{27}=\frac{32\pi {{R}^{3}}}{81}$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2R-2x=R+x\Leftrightarrow x=\frac{R}{3}=\frac{2}{3}$ Chọn A.
Lời giải chi tiết Bài toán: Hình nón ngoại tiếp hình trụ $\Rightarrow \frac{h'}{h}=\frac{R-R'}{R}$ Với R’, h’ lần lượt là bán kính đáy, chiều cao hình trụ $\Rightarrow x=\frac{h}{R}.\left( R-R' \right)$ Thể tích khối trụ là $V=\pi R{{'}^{2}}x=\pi R{{'}^{2}}.\frac{h}{R}.\left( R-R' \right)=\frac{\pi h}{R}.\left[ R{{'}^{2}}.(R-R') \right]$ Ta có: $R{{'}^{2}}.\left( R-R' \right)=4.\frac{R'}{2}.\frac{R'}{2}.(R-R')\le 4.\frac{{{\left( \frac{R'}{2}+\frac{R'}{2}+R-R' \right)}^{3}}}{27}=\frac{4{{R}^{3}}}{27}$ Suy ra $V\le \frac{\pi h}{R}.\frac{4{{R}^{3}}}{27}=\frac{4\pi {{R}^{2}}h}{27}$. Dấu = xảy ra khi $\frac{R'}{2}=R-R'\Rightarrow R'=\frac{2}{3}R\Rightarrow x=\frac{h}{3}$. Chọn A. |