Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 1 2x 4 3x 2 + 3 2mx có ba điểm cực trị
|
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f(x^{2}-2mx+11-m)$ có đúng 3 điểm cực trị ?
Đồ thị của $f'(x)$ chưa rõ ràng : nó cắt tia $Ox$ tại $2$ điểm có hoành độ $x=1$ và $x=\alpha$ (ở đây $\alpha$ bằng bao nhiêu chưa biết, mình giả sử $\alpha=2$) Đặt $u=x^2-2mx+11-m$. Dễ thấy GTNN của $u$ là $-\Delta '=-m^2-m+11$, tức là miền giá trị của $u$ là $\left [ -m^2-m+11;+\infty \right )$ Đồ thị hàm $f(x^2-2mx+11-m)$ có đúng $3$ điểm cực trị khi và chỉ khi $1\leqslant -m^2-m+11< \alpha =2$ Vì dựa vào đồ thị ta thấy nếu $1\leqslant -m^2-m+11< \alpha =2$, thì : - khi $u$ giảm từ $+\infty$ đến $2$ thì $f(u)$ giảm (lưu ý rằng $f(a)> f(2)$ nếu $a> 2$) - khi $u$ giảm từ $2$ đến $-m^2-m+11$ thì $f(u)$ tăng (vì $f(2)< f(-m^2-m+11)$ do trong khoảng này $f'(x)$ âm Chọn B Ta có: y'=−4x3+12x+m. Xét phương trình y'=0⇔−4x3+12x+m=0 1. Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình (1) phải có 3 nghiệm phân biệt. Ta có: 1⇔m=4x3−12x. Xét hàm số gx=4x3−12x có g'x=12x2−12. Cho g'x=0⇔12x2−12=0⇔x=±1. Bảng biến thiên của gx Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi −8 Do m∈ℤ⇒m∈−7,−6,−5,...,5,6,7. Vậy có 15 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu đề bài. adsense A. \(17\). B. \(15\). C. \(3\). D. \(7\). Lời giải: Chọn B Ta có: \(y’ = – 4{x^3} + 12x + m\). Xét phương trình \(y’ = 0 \Leftrightarrow – 4{x^3} + 12x + m = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\). adsense Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có 3 nghiệm phân biệt. Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = 4{x^3} – 12x\). Xét hàm số \(g\left( x \right) = 4{x^3} – 12x\) có \(g’\left( x \right) = 12{x^2} – 12\). Cho \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} – 12 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\). Bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình \(\left( 1 \right)\) có 3 nghiệm phân biệt khi \( – 8 < m < 8\). |
