Cho hệ phương trình x+my=m+1 và mx+y=3m-1

Xét hệ  x + m y = m + 1     1 m x + y = 2 m     2

Từ (2) ⇒ y = 2m – mx thay vào (1) ta được:

x + m (2m – mx) = m + 1

⇔ 2 m 2 – m 2 x + x = m + 1 ⇔ ( 1 – m 2 ) x = − 2 m 2 + m + 1

( m 2 – 1 ) x = 2 m 2 – m – 1   ( 3 )

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  (3) có nghiệm duy nhất

m 2 – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 1 ( * )

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x = 2 m + 1 m + 1 y = m m + 1

Ta có

x ≥ 2 y ≥ 1 ⇔ 2 m + 1 m + 1 ≥ 2 m m + 1 ≥ 1 ⇔ − 1 m + 1 ≥ 0 − 1 m + 1 ≥ 0 ⇔ m + 1 < 0 ⇔ m < − 1

Kết hợp với (*) ta được giá trị m cần tìm là m < −1

Đáp án: B

Cho hệ pt

\(x+my=m+1\)

\(mx+y=3m-1\)

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất

Những câu hỏi liên quan

Cho hệ phương trình :  x + m x = m + 1   1 m x + y = 3 m - 1   2

Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho đạt giá trị nhỏ nhất

A. m = 1

B. m = 0

C. m = 2

D. m = -1

Cho hệ phương trình: (( x + my = m + 1 mx + y = 3m - 1 right. ) (( 1 ) ( 2 ) )

Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\\mx + y = 3m - 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\)

Câu 35658 Vận dụng cao

Tìm số nguyên \(m\) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) mà $x,y$ đều là số nguyên.

Đáp án đúng: c

Phương pháp giải

+ Từ phương trình (2) biểu diễn \(y\) theo \(x.\)

+ Thế vào phương trình \(\left( 1 \right)\) để được phương trình bậc nhất ẩn \(x.\)

+ Sử dụng kiến thức \(A.X + B = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(A \ne 0.\)

+ Biến đổi theo yêu cầu $x;y \in Z$ để tìm ra điều kiện của \(m.\)

Câu 35657 Vận dụng cao

Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thì điểm \(M\left( {x;y} \right)\) luôn chạy trên đường thẳng nào dưới đây?

Đáp án đúng: c

Phương pháp giải

+ Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (sử dụng kết quả câu trước )

+ Tìm \(x;y\) theo \(m\) và biến đổi để có hệ thức của \(x;y\) độc lập với \(m.\)

Câu 35656 Vận dụng cao

Tìm \(m\) để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp án đúng: b

Phương pháp giải

+ Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (sử dụng kết quả câu trước )

+ Tìm \(x;y\) theo \(m\) và biến đổi để có \(x.y\) nhỏ nhất.

...

Hệ pt : \(\begin{cases}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{cases}\)

Xét pt đầu : \(x+my=m+1\Leftrightarrow x=m+1-my\) thay vào pt còn lại :

\(m\left(m+1-my\right)+y=3m-1\)

\(\Leftrightarrow y\left(1-m^2\right)=-m^2+2m-1\)

Nếu \(m=1\) thì pt có dạng 0.y = 0 => Vô số nghiệm.

Nếu m = -1 thì pt có dạng 0.x = -4 => vô nghiệm.

Xét với \(me1\) và \(me-1\) thì pt có nghiệm \(y=\frac{-\left(m-1\right)^2}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}=\frac{m-1}{m+1}\)

\(\Rightarrow x=m+1-m\left(\frac{m-1}{m+1}\right)=m+1-\frac{m^2-m}{m+1}=\frac{m^2+2m+1-m^2+m}{m+1}=\frac{3m+1}{m+1}\)

Xét \(xy=\frac{\left(m-1\right)\left(3m+1\right)}{\left(m+1\right)^2}=\frac{3m^2-2m-1}{\left(m+1\right)^2}\)

Đặt \(t=m+1\) thì \(m=t-1\) thay vào biểu thức trên được

\(\frac{3\left(t-1\right)^2-2\left(t-1\right)-1}{t^2}=\frac{3t^2-8t+4}{t^2}=\frac{4}{t^2}-\frac{8}{t}+3\)

Lại đặt \(a=\frac{1}{t}\) thì : \(4a^2-8a+3=4\left(a-1\right)^2-1\ge-1\)

Suy ra \(xy\ge-1\) . Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=1\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow m=0\)

Vậy với m = 0 thì xy đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1