Cho 2 đường thẳng d và d cắt nhau có bao nhiêu phép đối xứng qua mp biển d thành đ?
qua phép đối xứng trục Đa (a là trục đối xứng) , đường thẳng d biến thành đường thẳng d' . Hãy trả lời các câu hỏi sau : a) khi nào thì d song song với d' ? b) khi nào thì d trùng với d' ? c) khi nào thì d cắt d' ? giao điểm của d và d' có tính chất gì ? d) khi nào thì d vuông góc với d' ? Xem chi tiếtKhi đứng trước một tấm gương phẳng, mỗi người sẽ nhìn thấy hình của mình ở “phía sau” tấm gương đó (h.9). Phép đối xứng qua mặt phẳng của tấm gương đã “biến” mỗi người thành hình của họ. Hình 9. Ảnh chụp một em bé trước gương Hình 10. Ảnh chụp Tháp Rùa và bóng của nó
2. Mặt phẳng đối xứng của một hình ĐỊNH NGHĨA 2 Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình thành chính nó thì (P) gọi là mặt phẳng đối xứng của hình .Một số ví dụ Ví dụ 1 Mọi mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu đều là mặt phẳng đối xứng của mặt cầu (h.11). Hình 11 Ví dụ 2 Cho tứ diện đều ABCD (h.12). Gọi M là trung điểm của cạnh CD thì phép đối xứng qua mp(ABM) biến A thành A, B thành B, C thành D, D thành C. Như vậy, phép đối xứng đó biến tứ diện ABCD thành chính nó, suy ra mặt phẳng (ABM) thành mặt phẳng đối xứng của tứ diện ABCD. Hình tứ diện đều ABCD có sáu mặt phẳng đối xứng. Đó là các mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện. Hình 12 Ví dụ 3 Xét hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (h.13). Hình 13 Nếu (P) là mặt phẳng trung trực của cạnh AB thì nó cũng là mặt phẳng trung trực của cạnh AB thì nó cũng là mặt phẳng trung trực của các cạnh CD, A’B’ và C’D’, bởi vậy nó là mặt phẳng đối xứng của hình lập phương. Tương tự, các mặt phẳng trung trực của các cạnh AD, và AA’ cũng là những mặt phẳng đối xứng của hình lập phương. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua hai cạnh đối diện AB và C’D’ thì (Q) là mặt phẳng đối xứng của hình lập phương vì phép đối xứng qua (Q) biến mỗi điểm A, B, C’, D’ thành chính nó và biến điểm A’thành D, D thành A’,C thành B’và B’ thành C. ?1Như vậy hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳngđối xứng ? Hình 14 Tính chất Bốn đỉnh A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng và đó là một mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều ABCDEF. Vì mỗi điểm A, B, C, D cách đều hai điểm E và F nên chúng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF. Phép đối xứng qua mặt phẳng đó biến mỗi điểm A, B, C, D thành chính nó và biến điểm E thành F, F thành E nên mp(ABCD) là mặt phẳng đối xứng của bát diện đều ABCDEF.¢ 2 Tìm thêm các mặt phẳng đối xứng khác của hình bát diện đều. Một phép biến hình F trong không gian được gọi là phép dời hìnhnếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì (có nghĩa là nếu F biến hai điểm bất kì M, N lần lượt thành hai điểm M’, N’ thì M’N’=MN). • Phép tịnh tiến : Phép tịnh tiến theo vectơ là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho .• Phép đối xứng qua đường thẳng (còn gọi là phép đối xứng trục) : cho đường thẳng d, phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc d thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’sao cho trong mặt phẳng (M, d), d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’. • Phép đối xứng qua một điểm (còn gọi là phép đối xứng tâm) : Cho điểm O, phép đối xứng qua điểm O là phép biến hình biến mỗi điểm Mthành điểm M’ sao cho .Định nghĩa hai hình bằng nhau Hai hình và ’gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.?2 Hai mặt cầu có bán kính bằng nhau thì có bằng nhau hay không ? Vì sao ? Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA và AB. Khi đó hai tứ diện SABA’ và SBCB’ bằng nhau. Giải(h.15) Hình 15 Thật vậy, phép đối xứng qua mp(SAA’) biến các điểm S, A, B, A’ lần lượt thành các điểm S, A, C, A’ và phép đối xứng qua mp(SCC’) biến các điểm S, A, C, A’ lần lượt thành các điểm S, B, C, B’. Như vậy, qua hai phép đối xứng trên, bốn đỉnh S, A, B, A’ của tứ diện SABA’ biến thành bốn đỉnhS, B, C, B’ của tứ diện SBCB’ nêu theo định nghĩa, hai tứ diện đó bằng nhau. ¢ Hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau, nghĩa là AB=A’B’, BC=B’C’, CD=C’D’, AC=A’C’, BD=B’D’. Trường hợp 1 (h.16).Hai hình tứ diện có ba cặp đỉnh tương ứng trùng nhau, chẳng hạn A trùng A’, B trùng B’, C trùng C’, D khác D’. Hình 16 Khi đó, mỗi điểm A, B, C cách đều hai điểm D và D’ trên mp(ABC) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng DD’, suy ra phép đối xứng qua mp(ABC) biến các đỉnh A, B, C, D lần lượt thành các đỉnh A’, B’, C’, D’. Vậy hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’bằng nhau. Trường hợp 2 (h.17). Hai hình tứ diện đó có hai cặp đỉnh tương ứng trùng nhau, chẳng hạn A trùngA’, B trùng B’. Hình 17 Khi đó gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng CC’ thì (P) đi qua A và B (vì A và B cùng cách đều hai điểm C và C’). Vậy phép đối xứng qua mp(P) sẽ biến cá điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm A’, B’, C’, D1 và do đó tứ diện ABCD bằng tứ diện A’B’C’D1. Vì hai tứ diện A’B’C’D1 và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng bằng nhau và có ba đỉnh tương ứng trùng nhau nên theo trường hợp 1, chúng bằng nhau. Trường hợp 3. Hai hình tứ diện có một cặp đỉnh tương ứng trùng nhau, chẳng hạn A trùng A’. Khi đó, gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của BB’ thì (Q) đi qua A (vì A cách đều B và B’). Vậy phép đối xứng qua (Q) biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm A’, B’, C1, D1 và do đó, hai tứ diện ABCD và A’B’C1D1 bằng nhau. Mặt khác, hai tứ diện A’B’C1D1 và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng bằng nhau và có hai cặp đỉnh tương ứng trùng nhau nên theo trường hợp 2, chúng bằng nhau. Trường hợp 4. Hai hình tứ diện đó không có cặp đỉnh tương ứng nào trùng nhau. Khi đó gọi (R) là mặt phẳng trung trực của AA’, phép đối xứng qua (R) biến các điểm A, B, C, Dlần lượt thành các điểm A’, B1, C1, D1 nên tứ diện ABCD bằng tứ diện A’B1C1D1 : mà hai tứ diệnA’B1C1D1 và A’B’C’D’ có cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đỉnh tương ứng trùng nhau, do đó chúng bằng nhau theo trường hợp 3. ¢ Hai tứ diện đều có cạnh bằng nhau thì bằng nhau. HỆ QUẢ 2 Hai hình lập phương có cạnh bằng nhau thì bằng nhau. Hình 18 Giả sử ABCD. A’B’C’D’ và MNPQ.M’N’P’Q’ là hai hình lập phương có cạnh đều bằng a. Hai tứ diệnABDA’ và MNQM’ có các cạnh tương ứng bằng nhau nên bằng nhau, tức là có phép dời hình Fbiến các điểm A, B, D, A’ lần lượt thành M, N, Q, M’. Vì F là phép dời hình nên F biến hình vuông thành hình vuông, do đó F biến các điểm Cthành điểm P , biến điểm B’ thành N’, biến điểm D’thành Q’ và biến các điểm C’ thành P’. Như vậy, hai hình lập phương đã cho bằng nhau. ¢ Câu hỏi và bài tập
6. Gọi Đ là phép đối xứng qua mặt phẳng (P) và a là một đường thẳng nào đó. Giả sử Đ biến đổi đường thẳng a thành đường thẳng a’. Trong trường hợp nào thì : a) a trùng với a’ ; b) a song song a’ ; c) a cắt a’ ; d) a và a’ chéo nhau ? a) Hình chóp tứ giác đều ; b) Hình chóp cụt tam giác đều ; c) Hình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông. a) Các hình chóp A. A’B’C’D’ và C’.ABCD bằng nhau. b) Các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vàAA’D’.BB’C’ bằng nhau. a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép tịnh tiến ; b) Hợp thành của hai phéo đối xứng qua hai mặt phẳng (P) và (Q)vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng. |