Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán xét tính chẵn, lẻ của hàm số, đây là dạng toán thường gặp trong nội dung đại cương về hàm số thuộc chương trình Đại số 10 chương 2.
A. PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH CHẴN – LẺ CỦA HÀM SỐ
1. Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số $y=f\left[ x \right]$ có tập xác định $D.$
• Hàm số $f$ được gọi là hàm số chẵn nếu với $\forall x\in D$ thì $-x\in D$ và $f\left[ x \right]=f\left[ x \right].$
• Hàm số $f$ được gọi là hàm số lẻ nếu với $\forall x\in D$ thì $-x\in D$ và $f\left[ x \right]=-f\left[ x \right].$
Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.
2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ • Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. • Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
3. Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Cho hàm số $y=f[x]$ xác định trên $D.$
Các bước xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
+ Nếu $f\left[ -x \right]$ = $-f\left[ x \right]$ thì kết luận hàm số là lẻ.
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a] $f[x]=3{{x}^{3}}+2\sqrt[3]{x}.$
b] $f[x]={{x}^{4}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}.$
c] $f\left[ x \right]=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}.$
d] $f[x]=\sqrt{2+x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}.$
a] Tập xác định của hàm số: $\text{D}=\mathbb{R}.$ Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $f[-x]$ $=3{{\left[ -x \right]}^{3}}+2\sqrt[3]{-x}$ $=-\left[ 3{{x}^{3}}+2\sqrt[3]{x} \right]$ $=-f[x].$ Do đó $f[x]=3{{x}^{3}}+2\sqrt[3]{x}$ là hàm số lẻ. b] Tập xác định của hàm số: $\text{D}=\mathbb{R}.$ Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $f[-x]$ $={{\left[ -x \right]}^{4}}+\sqrt{{{\left[ -x \right]}^{2}}+1}$ $={{x}^{4}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ $=f[x].$ Do đó $f[x]={{x}^{4}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ là hàm số chẵn. c] Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix} x+5\ge 0 \\ 5-x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge -5 \\ x\le 5 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow -5\le x\le 5.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ -5;5 \right].$ Với mọi $x\in \left[ -5;5 \right]$ ta có $-x\in \left[ -5;5 \right]$ và $f[-x]$ $=\sqrt{\left[ -x \right]+5}+\sqrt{5-\left[ -x \right]}$ $=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}$ $=f[x].$ Do đó $f\left[ x \right]=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}$ là hàm số chẵn. d] Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix} 2+x\ge 0 \\ 2-x>0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge -2 \\ x\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\ge -x$ $\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x\ne 0$, do đó $f[x]=\frac{{{\left[ x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right]}^{2}}}{\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right]\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right]}-2{{x}^{2}}-1$ $=2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}.$ Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $f[-x]$ $=2\left[ -x \right]\sqrt{{{\left[ -x \right]}^{2}}+1}$ $=-2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ $=-f\left[ x \right].$ Do đó $f[x]=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}-2{{x}^{2}}-1$ là hàm số lẻ. d] Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}.$ Dễ thấy với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}.$ Với mọi $x>0$ ta có $-x