Bài tập nguyên hàm tự luận theo từng dạng năm 2024
|
Tài liệu gồm có các dạng toán thường gặp trong kỳ thi THPT. Được mình chia dạng rõ ràng, phân mức độ tương ứng với từng đối tượng học sinh. Tài liệu có tính cập nhật cao đối với các đề thi gần đây. Hi vọng sẽ giúp các bạn học sinh bổ sung được kiến thức, đồng thời cũng nâng cao được kinh nghiệm giải toán. Tài liệu có full đáp án chi tiết Nếu bạn là giáo viên, có nhu cầu sử dụng FILE WORD để tiện tham khảo, chỉnh sửa trong quá trình biên soạn và giảng dạy thì có thể liên hệ mình nhé! Nếu bạn đọc trong quá trình tham khảo, học tập phát hiện ra lỗi trong bộ tài liệu TỰ HỌC TOÁN 10, TỰ HỌC TOÁN 11, 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI 2022 thì mong các bạn phản hồi về cho mình nha. Mình chân thành cám ơn! Ch ủ đề 4: NGUYÊN HÀM T Ừ NG PH Ầ N A. LÝ THUY Ế T TR Ọ NG TÂM Cho hai hàm s ố ( ) u u x \= và ( ) v v x \= có đạ o hàm liên t ụ c trên K ta có công th ứ c nguyên hàm t ừ ng ph ầ n: . udv uv vdu \= − ∫ ∫ Chú ý: T a thườ ng s ử d ụng phương pháp nguyên hàm từ ng ph ầ n n ế u nguyên hàm có d ạ ng ( ) ( ) . , I f x g x dx \= ∫ trong đó ( ) f x và ( ) g x là 2 trong 4 hàm s ố : Hàm s ố logarit, hàm s ố đa thứ c, hàm s ố lượ ng giác, hàm s ố mũ. Để tính nguyên hàm ( ) ( ) . f x g x dx ∫ t ừ ng ph ần ta làm như sau: – Bướ c 1. Đặ t ( )( )( )( ) ' u f x du f x dxdv g x dx v G x \= \= ⇒ \= \= (trong đó ( ) G x là m ộ t nguyên hàm b ấ t k ỳ c ủ a hàm s ố ( ) g x ) – Bướ c 2. Khi đó theo công thứ c nguyên hàm t ừ ng ph ầ n ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ' . f x g x dx f x G x G x f x dx \= − ∫ ∫ Chú ý: Khi ( ) ( ) . I f x g x dx \= ∫ và ( ) f x và ( ) g x là 2 trong 4 hàm s ố : Hàm s ố logarit, hàm s ố đa th ứ c, hàm s ố lượ ng giác, hàm s ố mũ ta đặt theo quy tắc đặ t . u Nh ấ t log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thứ Tam lượng (hàm lượ ng giác) – T ứ mũ (hàm mũ) T ứ c là hàm s ố nào đứng trướ c trong câu nói trên ta s ẽ đặ t u b ằng hàm đó. Ví dụ : • N ế u ( ) f x là hàm log, ( ) g x là m ộ t trong 3 hàm còn l ạ i, ta s ẽ đặ t ( )( ) . u f xdv g x dx \=\= • Tương tự n ế u ( ) f x là hàm mũ , ( ) g x là hàm đa thứ c , ta s ẽ đặ t ( )( ) ugxdvfxdx \=\= M ộ t s ố d ạ ng nguyên hàm t ừ ng ph ầ n thườ ng g ặ D ạ ng 1: ( ) ( ) ln , I P x mx n dx \= + ∫ trong đó ( ) P x là đa thứ Theo quy tắc ta đặ t ( )( ) ln. u mx ndv P x dx \= +\= D ạ ng 2: ( ) sin,cos x IPxdx x \= ∫ trong đó ( ) P x là đa thứ
heo quy tắc ta đặ t ( ) .sincos u P x xdv dx x \= \= D ạ ng 3: ( ) , axb IPxedx + \= ∫ trong đó ( ) P x là đa thứ c Theo quy tắc ta đặ t ( ) . ax b u P x dv a dx + \=\= D ạ ng 4: sin.cos x x I e dx x \= ∫ Theo quy tắc ta đặ t sincos . x xu xdv e dx \= \=
Ụ MINH H Ọ A Ví d ụ 1: Tìm nguyên hàm c ủa các hàm số sau: 1 sin I x xdx \= ∫ 32 x I xe dx \= ∫ 23 cos I x xdx \= ∫ 4 ln I x xdx \= ∫ L ờ i gi ả i: 1 sin I x xdx \= ∫ • Cách 1: Đặ t sincos uxdudx xdxdvvx \= \= ←→ \= \= − 1 sin cos cos cos sin . I x xdx x x xdx x x x C → \= \= − + \= − + + ∫ ∫ • Cách 2: ( ) 1 sin cos cos cos cos sin I x xdx xd x x x xdx x x x C \= \= − \= − − \= − + + ∫ ∫ ∫ 32 x I xe dx \= ∫ • Cách 1: Đặ t 33 13 x x du dxu xv ee dx dv \=\= ←→ \=\= ( ) 33333332 1111113333939 xxxxxxx IxedxxeedxxeedxxeeC → \= \= − \= − \= − + ∫ ∫ ∫ • Cách 2: ( ) ( ) 333333332 1111113333333 xxxxxxxx IxedxxdexeedxxeedxxeeC \= \= \= − \= − \= − + ∫ ∫ ∫ ∫ 23 cos I x xdx \= ∫ • Cách 1: Đặ t 2 2sincos du xdxu xv x xdx dv \= \= ←→ \=\= Khi đó 2 2 23 cos sin 2 sin sin 2 I x xdx x x x xdx x x J \= \= − \= − ∫ ∫ Xét sin . J x xdx \= ∫ Đặ t cos cos cos sincossin u x du dx J x x xdx x x xv x xdx dv \= \= → \= − + \= − + \= −\= ←→ ∫ ( ) 23 sin 2 cos sin . I x x x x x C → \= − − + + • Cách 2: ( ) ( ) 2 2 2 2 23 cos sin sin sin sin 2 sin I x xdx x d x x x xd x x x x xdx \= \= \= − \= − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 2 sin 2 cos sin 2 cos 2 cos sin 2 cos 2sin . x x xd x x x x x xdx x x x x x C \= + \= + − \= + − + ∫ ∫ 4 ln Ixxdx \= ∫ • Cách 1: Đặ t 2 2 2 242 lnln ln . ln .2 2 2 42 dxduu x x x dx x x x I x xdx x x C xdx dv x xv \=\= ←→ → \= \= − \= − + \= \= ∫ ∫ • Cách 2: Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 24 ln ln ln ln ln ln .2 2 2 2 2 2 4 x x x x x dx x x I x xdx xd x d x x x C x \= \= \= − \= − \= − + ∫ ∫ ∫ ∫ Ví d ụ 2: Tìm nguyên hàm c ủa các hàm số sau: 25 ln I x xdx \= ∫ ( ) 26 ln 1 I x x dx \= + ∫ ( ) 27 ln 1 I x x dx \= + + ∫ 8 sin x I e xdx \= ∫ L ờ i gi ả i: 25 ln I x xdx \= ∫ • Cách 1: Đặ t 33332523 lnlnln.ln.33393 dxduux xxdxxx x IxxdxxC x xdxdvxv \=\= ←→ → \= \= − \= − + \= \= ∫ ∫ • Cách 2: Ta có ( ) 3 3 3 3 3 3 325 ln ln ln ln ln ln .3 3 3 3 3 3 9 x x x x x dx x x I x xdx xd x d x x x C x \= \= \= − \= − \= − + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 26 ln 1 I x x dx \= + ∫ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 26 ln 1 ln 1 ln 1 ln 12 2 2 x x x I x x dx x d x d x \= + \= + \= + − + ∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2ln 1ln 1 . ln 1 ln 1 ln 12 2 1 2 1 2 x x x x x x x dx x x dx x J x x +\= + − \= + − + \= + −+ + ∫ ∫ |
