Bài tập hình học 10 bài hệ trục tọa độ

Sách giải toán 10 Bài 4: Hệ trục tọa độ giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 4 trang 21: Hãy tìm cách xác định vị trí quân xe và quân mã trên bàn cờ vua (h.1.21).

Lời giải

Vị trí của quân xe: hàng 3, cột c

Vị trí của quân mã: hàng 5, cột f

Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 4 trang 22: Hãy phân tích các vectơ a→, b→ theo hai vectơ i→ và j→ trong hình (h.1.23)

Lời giải

a→ \= 4i→ + 2j→

b→ \= 0i→ – 4j→

Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 4 trang 24: Câu hỏi 3 trang 24: Tìm tọa độ của các điểm A, B, C trong hình 1.26. Cho ba điểm D(-2; 3), E(0; -4), F(3; 0). Hãy vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy.

Lời giải

A(4; 2)

B(3; 0)

C(0; 2)

Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 4 trang 24: Hãy chứng minh công thức trên.

Lời giải

Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 4 trang 25: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ OG→ theo ba vectơ OA→, OB→, OC→. Từ đó hãy tính tọa độ điểm G theo tọa độ của A, B và C.

Lời giải

Bài 1 (trang 26 SGK Hình học 10): Trên trục (O, e→) cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là -1, 2, 3, -2

1. Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục;

2. Tính độ dài đại số của . Từ đó suy ra hai vec tơ

ngược hướng.

Lời giải:

1. Vẽ trục và biểu diễn các điểm

2. Ta có:

A có tọa độ là –1, B có tọa độ là 2 nên

M có tọa độ là 3, N có tọa độ là –2 nên

Bài 2 (trang 26 SGK Hình học 10): Trong mặt phẳng tọa độ, các mệnh đề sau đúng hay sai?

1. a→ (-3; 0) và i→ (1; 0) là hai vec tơ ngược hướng.

2. a→ (3; 4) và b→ (-3; -4) là hai vec tơ đối nhau

3. a→ (5; 3) và b→ (3; 5) là hai vec tơ đối nhau.

4. Hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Lời giải:

1. Đúng

Giải thích: Nhận thấy a→ \= -3.i→

Vì –3 < 0 nên a→ và i→ ngược hướng.

2. Đúng.

Giải thích:

⇒ a→ \= –b→ nên a→ và b→ là hai vec tơ đối nhau.

3. Sai

Giải thích:

⇒ a→ ≠ –b→ nên a→ và b→ không phải là hai vec tơ đối nhau.

4. Đúng

Nhận xét SGK : Hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Bài 3 (trang 26 SGK Hình học 10): Tìm tọa độ của các vectơ sau:

Lời giải:

Bài 4 (trang 26 SGK Hình học 10): Trong mặt phẳng Oxy. Các khẳng định sau đúng hay sai?

1. Tọa độ của điểm A bằng tọa độ của vectơ OA;

2. Điểm A nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0;

3. Điểm A nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng 0;

4. Hoành độ và tung độ của điểm A bằng nhau khi và chỉ khi A nằm trên tia phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Với các bài toán về Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng và cách giải bài tập Toán lớp 10 Hình học gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng và cách giải bài tập lớp 10. Mời các bạn đón xem:

Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng và cách giải bài tập – Toán lớp 10

1. Lí thuyết tổng hợp.

- Trục tọa độ (gọi tắt là trục) :

+ Định nghĩa: Trục tọa độ là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e→.

+ Kí hiệu: O;e→

+ Tọa độ của điểm đối với trục: Cho M là một điểm tùy ý trên trục O;e→. Khi đó, tồn tại duy nhất một số k sao cho OM→=ke→, ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục O;e→.

+ Độ dài đại số trên trục: Cho hai điểm A và B trên trục O;e→ có tọa độ lần lượt là a và b. Khi đó, tồn tại duy nhất số h sao cho AB→=he→, ta gọi số h đó là độ dài đại số của vectơ AB→ trên trục O;e→. Kí hiệu: h=AB¯ với AB¯=b−a. Nếu AB→ cùng hướng với e→ thì AB¯=AB, nếu AB→ ngược hướng với e→ thì AB¯=−AB.

+ Tính chất:

- Hệ trục tọa độ:

+ Định nghĩa: Hệ trục tọa độ O;i→;j→ gồm hai trục O;i→ và O;j→ vuông góc với nhau tại O. Điểm O gọi là gốc tọa độ. Trục O;i→ được gọi là trục hoành, kí hiệu là Ox. Trục O;j→ được gọi là trục tung, kí hiệu là Oy. Các vectơ i→ và j→ là các vectơ đơn vị và i→=j→=1. Hệ trục tọa độ O;i→;j→ còn được kí hiệu là Oxy.

+ Mặt phẳng Oxy: Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.

+ Tọa độ của vectơ: Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ u→ tùy ý. Khi đó, tồn tại cặp số (x; y) duy nhất sao cho u→=xi→+yj→, cặp số đó được gọi là tọa độ của vectơ u→ và kí hiệu là u→= (x; y) hoặc u→(x; y), trong đó, x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của vectơ u→.

+ Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM→ đối với hệ trục Oxy chính là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó. Tức là OM→=xi→+yj→⇔OM→=(x;y)⇔M(x;y) hoặc M = (x; y), trong đó, x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của điểm M.

+ Tọa độ của của trung điểm đoạn thẳng: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(xA;yA), B(xB;yB) và điểm M(xM;yM) là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta có: xG=xA+xB+xC3;yG=yA+yB+yC3.

+ Tọa độ của của trọng tâm tam giác: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm không thẳng hàng A(xA;yA),B(xB;yB) , C(xC;yC) và điểm G(xG;yG) là trọng tâm của tam giác ABC thì ta có: xG=xA+xB+xC3;yG=yA+yB+yC3.

+ Tọa độ của các vectơ u→+v→,u→−v→,ku→: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u→=(x1;y1) và v→=(x2;y2), khi đó ta có:

u→+v→=(x1+x2;y1+y2)u→−v→=(x1−x2;y1−y2)

ku→=(kx1;ky1) với k∈ℝ

+ Tính chất:

• u→(x;y)=v→(x';y')⇔x=x'y=y'

• Cho điểm M (x; y) tùy ý trong mặt phẳng Oxy, nếu MM1⊥Ox,MM2⊥Oy thì OM1=x,OM2=y.

• Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB), khi đó AB→=(xB−xA;yB−yA)

• Trong mặt phẳng Oxy, vectơ u→=(x1;y1) cùng phương với vectơ v→=(x2;y2) với v→≠0→ khi và chỉ khi tồn tại một số k sao cho:

u→=kv→⇔x1=kx2y1=ky2⇔x1x2=y1y2=k⇔x1y2=x2y1

2. Các dạng bài.

Dạng 1: Xác định tọa độ một điểm.

Phương pháp giải:

- Áp dụng các kiến thức về tọa độ của điểm trên trục và trong mặt phẳng:

+)OM→=ke→⇒ k là tọa độ của điểm M đối với trục O;e→.

+) OM→=xi→+yj→⇔OM→=(x;y)⇔M(x;y)

+) Cho điểm M (x; y) tùy ý trong mặt phẳng Oxy, nếu MM1⊥Ox,MM2⊥Oy thì OM1=x,OM2=y.

+) Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: xM=xA+xB2;yM=yA+yB2

+) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: xG=xA+xB+xC3;yG=yA+yB+yC3

- Áp dụng các kiến thức về tọa độ vectơ trong mặt phẳng:

+) Cho hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB), khi đó AB→=(xB−xA;yB−yA)

+) Cho hai vectơ u→=(x1;y1) và v→=(x2;y2)

u→ cùng phương với vectơ v→ (v→≠0→) khi và chỉ khi:

u→=kv→⇔x1=kx2y1=ky2⇔x1x2=y1y2=k⇔x1y2=x2y1

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(3; 5), B(2; 4) và C(6; 1). Biết M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. Tìm tọa độ điểm M và tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải:

Điểm M (x; y) là trung điểm của BC nên ta có:

Điểm G (x’; y’) là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng biết A(1; 4) , B(3; 2) và C(6; 7). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Dạng 2: Chứng minh một tính chất của một hình.

Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức về tọa độ của điểm và vectơ trong mặt phẳng Oxy:

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Chứng minh tính chất của các hình sau:

1. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết A(1; 1), B(1; 5) và C(5; 1) .

2. Biết rằng M(1; 1), N(7; 1) và P4;27+1. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.

3. Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành biết A(-5; 6), B(-1; 6), C(-2; 4) và D(-6; 4)

Lời giải:

a)

Ta có:

Từ (1) và (2) ta có tam giác ABC vuông cân tại A.

b)

Ta có:

c)

Ta có:

Bài 2: Chứng minh tính chất của các hình sau:

1. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Biết M(-6; 6), N(-2; 6), P(-2; 4) và Q(-6; 4).

2. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi. Biết A(-4; 7), B(-2; 6), C(-4; 5), và D(-6; 6)

Lời giải:

a)

Ta có:

Từ (1) và (2) ta có tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

b)

Ta có:

Từ (1) và (2) ta có tứ giác ABCD là hình thoi.

Dạng 3: Áp dụng phương pháp tọa độ chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

- Khi gặp các bài toán đại số mà mỗi biểu thức dưới dấu căn bậc hai A,B,… có thể biểu diễn dưới dạng: A=a12+a12, B=b12+b12,… Ta thiết lập các điểm, các vectơ có tọa độ phù hợp sao cho độ dài các đoạn thẳng, các vectơ tương ứng có độ dài bằng A,B,… rồi sử dụng các bất đẳng thức hình học cơ bản (bất đẳng thức về độ dài các cạnh trong tam giác, bất đẳng thức về độ dài đường gấp khúc,… ) và các bất đẳng thức về vectơ để giải quyết bài toán.