Bài 6 trang 223 sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao.
|
Do \(AB//CD,{\rm{ }}AB \subset \left( {SAB} \right),{\rm{ }}CD \subset \left( {MNCD} \right)\)nên hai mặt phẳng (SAB) và (MNCD) cắt nhau theo giao tuyếnMNsong song vớiABvàCD.
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnha,cạnhSA=avà vuông góc với mặt phẳng đáy. Một mặt phẳng đi quaCDcất các cạnhSA,SBlần lượt tạiM, N.ĐặtAM = x. LG a Tứ giácMNCDlà hình gì ? Tính diện tích tứ giácMNCDtheoa, x. Lời giải chi tiết: Do \(AB//CD,{\rm{ }}AB \subset \left( {SAB} \right),{\rm{ }}CD \subset \left( {MNCD} \right)\)nên hai mặt phẳng (SAB) và (MNCD) cắt nhau theo giao tuyếnMNsong song vớiABvàCD. Mặt khác \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot DM.\) VậyMNCDlà hình thang vuông. VìMN//ABnên ta có \({{MN} \over {AB}} = {{SM} \over {SA}}.\) Vây \(MN = {{AB.SM} \over {SA}} = {{aSM} \over a} = SM = a - x.\) \({S_{MNCD}} = {1 \over 2}\left( {MN{\rm{ }} + {\rm{ }}CD} \right).DM\) \(\eqalign{ & = {1 \over 2}\left( {a - {\rm{ }}x + a} \right)\sqrt {{a^2} + {x^2}} \cr & = {1 \over 2}\left( {2a - {\rm{ }}x} \right)\sqrt {{a^2} + {x^2}} . \cr} \) LG b Xác định giá trị củaxđể thể tích của hình chópS.MNCDbằng \({2 \over 9}\) lần thể tích hình chópS.ABCD. Lời giải chi tiết: \({S_{ABCD}} = {1 \over 3}{S_{ABCD}}.SA = {1 \over 3}{a^3}\) \(= > {V_{S.ACD}}{\rm{ }} = {V_{S.ACB}} = {1 \over 6}{a^3}.\) \({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MNC}} + {V_{S.MCD}}.\) Mặt khác \({{{V_{S.MCN}}} \over {{V_{S.ACB}}}} = {{SM} \over {SA}}.{{SC} \over {SC}}.{{SN} \over {SB}} = {\left( {{{a - x} \over a}} \right)^2}\) \(\Rightarrow {{{V_{S.MCN}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {1 \over 2}{\left( {{{a - x} \over a}} \right)^2}.\) \({{{V_{S.MCD}}} \over {{V_{S.ACD}}}} = {{SM} \over {SA}}.{{SC} \over {SC}}.{{SD} \over {SD}}={{SM} \over {SA}}= {{a - x} \over a} \) \(\Rightarrow {{{V_{S.MCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{a - x} \over {2a}}.\) \({{{V_{S.MNCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{{V_{S.MCN}} + {V_{S.MCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{{V_{S.MCN}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} + {{{V_{S.MCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} \) \( = {1 \over 2}{\left( {{{a - x} \over a}} \right)^2} + {{a - x} \over {2a}}.\) Từ đó ta có \({{{V_{S.MNCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {2 \over 9} \Leftrightarrow {\rm{ }}9{x^2} - {\rm{ }}27ax + 14{a^2} = {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {7 \over 3}a\text{ ( loại vì theo giả thiết x < a)}\hfill \cr x = {2 \over 3}a \hfill \cr} \right.\)
|
