Video hướng dẫn giải - giải bài 10 trang 46 sgk giải tích 12
\(\begin{array}{l}- {x^4} + 2m{x^2} - 2m + 1 = 0\\\Leftrightarrow \left( {{x^4} - 1} \right) - 2m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) - 2m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2m + 1} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\{x^2} - 2m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\{x^2} = 2m - 1\end{array} \right..\end{array}\) Video hướng dẫn giải
Cho hàm số: \(y = -x^4+2mx^2-2m + 1\) ( \(m\) là tham số) có đồ thị \((C_m).\) LG a a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số. Phương pháp giải: Số cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình: \(y'=0.\) Biện luận số cực trị của hàm số tức là biện luận số nghiệm của phương trình \(y'=0.\) Lời giải chi tiết: \(y = -x^4+2mx^2-2m + 1\)\((C_m).\) Tập xác định: \(D =\mathbb R\) Ta có: \(y' = -4x^3+4mx = -4x (x^2-m)\) \(\Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow -4x(x^2-m)=0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right..\) +) Với \(m 0\) thì \(y\) có một nghiệm \(x = 0\) và đổi dấu \(+\) sang \(\) khi qua nghiệm này. Do đó hàm số có một điểm cực đại là \(x = 0\) +) Với \(m>0\) phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có điểm 3 cực trị. Do đó, hàm số có 2 điểm cực đại là \(x = ± \sqrt m\) và có một điểm cực tiểu là \(x = 0\). LG b b) Với giá trị nào của m thì \((C_m)\)cắt trục hoành? Phương pháp giải: \((C_m)\) cắt trục hoành \(\Leftrightarrow \) phương trình \(y=f(x)=0\) có nghiệm. Lời giải chi tiết: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \((C_m)\) và trục hoành là: \(\begin{array}{l} Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm luôn có nghiệm \(x = ± 1\) với mọi m nên \((C_m)\)luôn cắt trục hoành. Cách khác: Xét \(m 0\), phương trình \(y = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = 0.\) Ta có bảng biến thiên : \((Cm)\) cắt trục hoành \( 1 2m 0\) \( m \frac{1}{2}\) Kết hợp \(m 0\) ta được \(m 0\) (1) - Xét \(m > 0\), phương trình \(y = 0\) có 3 nghiệm 0 ;\( \pm \sqrt m \) Ta có bảng biến thiên : \((C_m)\)cắt trục hoành\( \Leftrightarrow {(m - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow m \ne 1\) Kết hợp với \(m > 0\) ta được \(m > 0\) (2) Kết hợp (1) và (2) suy ra \((C_m)\)cắt trục hoành với mọi \(m R.\) LG c c) Xác định m để \((C_m)\)có cực đại, cực tiểu. Phương pháp giải: Hàm số có cực đại và cực tiểu\(\Leftrightarrow \) phương trình \(y'=f'(x)=0\) có 3 nghiệm phân biệt. Lời giải chi tiết: Theo lời giải câu a, ta thấy ngay: với \(m > 0\) thì đồ thị \((C_m)\)có cực đại và cực tiểu.
|