Toán 11 góc giữa đường thẳng và mặt phẳng năm 2024

Tài liệu gồm 21 trang được biên soạn bởi tập thể quý thầy, cô giáo Nhóm Word Và Biên Soạn Tài Liệu Môn Toán THPT, hướng dẫn giải bài toán xác định góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng, được phát triển dựa trên câu 17 đề thi tham khảo THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020 do Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố.

Giới thiệu sơ lược về tài liệu xác định góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng:

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Góc giữa hai đường thẳng Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác. Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: Nếu u và v lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì góc φ của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức: cos φ = |u.v|/|u|.|v|. 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Muốn xác định góc của đường thẳng a và (P) ta tìm hình chiếu vuông góc a’ của a trên (P). Khi đó (a;(P)) = (a;a’). 3. Góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó, góc giữa (α) và (β) là ((α);(β)) = (a;b). Phương pháp 2: Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng (α) và (β). Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến c tại một điểm trên c. Khi đó: ((α);(β)) = (a;b). 4. Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian Chọn hệ trục thích hợp và cụ thể hóa tọa độ các điểm.
2. BÀI TẬP MẪU 1. Bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a√3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a√2 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng? 2. Phân tích hướng dẫn giải
3. Dạng toán: Đây là dạng toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
4. Hướng giải: Bước 1: Xác định hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD). Bước 2: Tính góc giữa SC và hình chiếu của nó.
5. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

• Khối Đa Diện

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng \({90^0}\).

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng \({90^0}\).

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Chú ý:

1. Góc \(\alpha \) giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn \({0^0} \le \alpha \le {90^0}\).

2. Nếu đường thẳng a nằm trong (P) hoặc a song song với (P) thì \(\left( {a,\left( P \right)} \right) = {0^0}\).

2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện

Góc nhị diện

Cho hai nửa mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{Q_1}} \right)\) có chung bờ là đường thẳng d. Hình tạo bởi \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{Q_1}} \right)\) và d được gọi là góc nhị diện tạo bởi \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{Q_1}} \right)\), kí hiệu \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\).

Hai nửa mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{Q_1}} \right)\) gọi là hai mặt của nhị diện và d gọi là cạnh của nhị diện.

Chú ý:

1. Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d tạo thành bốn góc nhị diện.

2. Góc nhị diện \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\) còn được kí hiệu là \(\left[ {M,d,N} \right]\) với M, N tương ứng thuộc hai nửa mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{Q_1}} \right)\).

Góc phẳng nhị diện

Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện, có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.

Chú ý:

1. Đối với một góc nhị diện, các góc phẳng nhị diện đều bằng nhau.

2. Nếu mặt phẳng (R) vuông góc với cạnh d của góc nhị diện và cắt hai mặt \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{Q_1}} \right)\) của góc nhị diện theo hai nửa đường thẳng Ou và Ov thì \(\widehat {uOv}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{Q_1}} \right)\).

- Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và hình chiếu d’ của đường thẳng d trên (P).

Nhận xét: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo từ \({0^0}\) đến \({90^0}\).

2. Góc nhị diện

1. Nửa mặt phẳng

Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng chia mặt phẳng đó thành hai phần, mỗi phần được gọi là một nửa mặt phẳng và đường thẳng đó được gọi là bờ của một nửa mặt phẳng này.

2. Góc nhị diện

Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ.

Ví dụ: Xét góc nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) có chung bờ là đường thẳng d, kí hiệu là [P, d, Q]. Đường thẳng d gọi là cạnh của góc nhị diện, mỗi nửa mặt phẳng (P) và (Q) gọi là một mặt của góc nhị diện.

Chú ý: Góc nhị diện còn được kí hiệu là [M, d, N] với M, N lần lượt là các điểm thuộc các nửa mặt phẳng (P). (Q) nhưng không thuộc đường thẳng d.

3. Góc phẳng nhị diện

Trong không gian, cho góc nhị diện. Một góc có đỉnh thuộc cạnh của góc nhị diện, hai cạnh của góc đó lần lượt thuộc hai mặt nhị diện và cùng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, được gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho.

Ví dụ: Cho góc nhị diện [P, d, Q]. Lấy O thuộc d, hai tia Ox, Oy lần lượt nằm trên hai nửa mặt phẳng (P), (Q) và cùng vuông góc với d. Khi đó góc xOy là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [P, d, Q].

Nhận xét: Cạnh của góc nhị diện luôn vuông góc với mặt phẳng chứa góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đó.

4. Số đo của góc nhị diện

- Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó.

- Nếu số đo góc phẳng nhị diện bằng 90° thì góc nhị diện đó gọi là góc nhị diện vuông.

Nhận xét: Số đo của góc nhị diện từ \({0^0}\) đến \({180^0}\).

3. Bài tập về góc nhị diện

Bài 1. Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh $AB$, $BC$, $CD$ bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

1. Góc giữa \(AC\) và \(\left( {BCD} \right)\) là góc \(ACB\).

2. Góc giữa \(AD\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(ADB\).

3. Góc giữa \(AC\) và \(\left( {ABD} \right)\) là góc \(CAB\).

4. Góc giữa \(CD\) và \(\left( {ABD} \right)\) là góc \(CBD\).

Lời giải:

Từ giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BCD} \right)\).

Do đó \(\left( {AC,\left( {BCD} \right)} \right) = \left( {AC,BC} \right) = \widehat {ACB}\).

Chọn đáp án A.

Bài 2. Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(BC = a.\) Trên đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) lấy điểm \(S\) sao cho $SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng \(SA\) và \(\left( {ABC} \right)\)

1. \(30^\circ \).

2. \(45^\circ \).

3. \(60^\circ \).

4. \(90^\circ \).

Lời giải: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = 90^\circ \).

Chọn đáp án D.

Bài 3. Cho hình lập phương\(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi $\alpha $ là góc giữa $AC'$ và mp $\left( {A'BCD'} \right).$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

1. $\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}{30^0}.$

2. \(\tan \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}.\)

3. $\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}{45^0}.$

4. \(\tan \alpha = \sqrt 2 .\)

Lời giải:

Gọi $\left\{ \begin{array}{l}A'C \cap AC' = I\\C'D \cap CD' = H\end{array} \right.$

mà \(\left\{ \begin{array}{l}C'D \bot CD'\\C'D \bot A'D'\end{array} \right. \Rightarrow C'D \bot \left( {A'BCD'} \right) \Rightarrow IH\) là hình chiếu vuông góc của \(IC'\) lên \(\left( {A'BCD'} \right) \Rightarrow \widehat {C'IH}\)là góc giữa \(IC'\) và \(\left( {A'BCD'} \right)\) và cũng là góc giữa \(AC'\) và \(\left( {A'BCD'} \right).\) Mà \(\tan \widehat {C'IH} = \dfrac{{C'H}}{{IH}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.2 = \sqrt 2 .\)

Chọn đáp án D.

Bài 4. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho

2. Nếu \(a\) và \(b\) song song (hoặc \(a\) trùng với \(b\)) thì góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) .

3. Nếu góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

4. Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(b\).

Lời giải: Đáp án A sai vì nếu trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì định nghĩa đó không còn đúng.

Đáp án C sai vì \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có thể trùng nhau.

Đáp án D sai vì \(a,b\) có thể trùng nhau.

Chọn đáp án B.

Bài 5. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(SA = SB = SC = b\). Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\). Độ dài \(SG\) là:

1. $\dfrac{{\sqrt {9{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.

2. $\dfrac{{\sqrt {{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.

3. $\dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.

4. $\dfrac{{\sqrt {{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.

Lời giải:

Theo bài ra hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều.

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(SG \bot (ABC),G \in AH\).

Mà \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác \(SAG\) vuông tại \(G\) nên theo định lý Pi-ta-go ta có :

\(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{3}} = \dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}\)

Chọn đáp án C.

Bài 6. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều có đường cao \(SH\) vuông góc với \(mp(ABCD)\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(BD\) và \(mp(SAD)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

1. \(\alpha = {60^0}\).

2. \(\alpha = {30^0}\).

3. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\).

4. \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\).

Lời giải:

Gọi \(I\) là trung điểm ${\rm{AS}} \Rightarrow {\rm{BI}} \bot {\rm{SA}}$

Ta có: \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AD\)

Mà \(AD \bot AB\) nên \(AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot BI\)

Suy ra \(BI \bot (SAD) \Rightarrow \alpha = \widehat {IDB}\)

Ta có: \(BI = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2},BD = AB\sqrt 2 \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{BI}}{{BD}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\)

Chọn đáp án D.

Bài 7. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cạnh huyền $BC = a$. Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm$BC$. Biết $SB = a$. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right)$.

A.\(30^\circ \).

2. \(45^\circ \).

3. \(60^\circ \).

4. \(75^\circ \).

Lời giải:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\) suy ra

\(AH = BH = CH = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}\).

Ta có: \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA,HA} \right)} = \widehat {SAH} = \alpha \)