Tìm giá tị lớn nhất [GTLN] và giá trị nhỏ nhất [GTNN] của biểu thức [biểu thức chứa dấu căn, biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,...] là một trong những dạng toán lớp 9 có nhiều bài tương đối khó và đòi hỏi kiến thức vận dụng linh hoạt trong mỗi bài toán.
Bạn đang xem: Các bài tập về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất lớp 9
Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất [GTLN, Max] và giá trị nhỏ nhất [GTNN, Min] của biểu thức [biểu thức đại số chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối,...] qua một số bài tập minh họa cụ thể.
° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số:
* Phương pháp: [đối với biểu thức 1 biến số]
- Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A2[x] + const ;[A biểu thức theo x, const = hằng số].
* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x2 + 2x - 3. Tìm GTNN của A.
° Lời giải:
- Ta có: A = x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = [x + 1]2 - 4
- Vì [x + 1]2 ≥ 0 ⇒ [x + 1]2 - 4 ≥ -4
⇒ A ≥ - 4 dấu bằng xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1
- Kết luận: Amin = -4 khi và chỉ khi x = -1.
* Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x - 5. Tìm GTLN của A.
° Lời giải:
- Ta có: A = -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -[x - 3]2 + 4 = 4 - [x - 3]2
- Vì [x - 3]2 ≥ 0 ⇒ -[x - 3]2 ≤ 0 ⇒ 4 - [x - 3]2 ≤ 4
⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3
- Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ khi x = 3.
* Ví dụ 3: Cho biểu thức:
- Tìm x để Amax; tính Amax =?
° Lời giải:
- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức [x2 + 2x + 5] đạt giá trị nhỏ nhất.
- Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = [x + 1]2 + 4
- Vì [x + 1]2 ≥ 0 nên [x + 1]2 + 4 ≥ 4
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1
Vậy
° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:
* Phương pháp: [đối với biểu thức 1 biến số]
- Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:
- Dấu "=" xảy ra khi A = 0.
* Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta thấy:
Vì [x - 1]2 ≥ 0 ⇒ 2[x - 1]2 ≥ 0 ⇒ 2[x - 1]2 + 3 ≥ 3
nên
* Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta có:
Vì [x - 1]2 ≥ 0 ⇒ -3[x - 1]2 ≤ 0 ⇒ -3[x - 1]2 + 5 ≤ 5
nên
* Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta có:
* Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Điều kiện: x≥0
- Để A đạt giá trị lớn nhất thì
- Ta có:
Lại có:
Dấu"=" xảy ra khi
- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.
° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
* Phương pháp: [đối với biểu thức 1 biến số]
- Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối.
* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5
Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1
Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1
* Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3
° Lời giải:
- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3
Dấu "=" xảy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9
Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9
Như vậy, các bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm [bình phương, trị tuyệt đối,...] và hằng số để tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy [Cosi] cho hai số a, b không âm:
Xem thêm: Top 20 Kỹ Năng Giải Quyết Vấn Đề Tiếng Anh Là Gì Mới Nhất 2021
* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
° Lời giải:
- Vì a,b>0 nên
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy [còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM [Arithmetic Means - Geometric Means]].