Khi nào tứ giác là hình thang?

1. Các kiến thức cần nhớ

Hình thang

Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng ${180^0}$

Nhận xét:

+ Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.

+ Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.

+ Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

Ví dụ 1:

\(ABCD\) là hình thang. Khi đó:

+ \(AB{\rm{//}}CD\) , \(AB,CD\) là hai đáy, \(AD,BC\) là cạnh bên.

+ \(\widehat A + \widehat D = \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)

+ Nếu $AD{\rm{//}}BC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AD = BC\\AB = CD\end{array} \right.$

+ Nếu \(AB = CD \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AD = BC\\AD{\rm{//}}BC\end{array} \right.\)

Hình thang vuông:\(ABCD\) là hình thang có \(\widehat A = 90^\circ \) thì \(ABCD\) là hình thang vuông.

Hình thang cân

Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Tính chất:

+ Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

+ Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Dấu hiệu nhận biết:

+ Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Ví dụ:

+ \(ABCD\) là hình thang cân thì \(AD = BC;\,AC = BD\)

+ Tứ giác \(ABCD\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AB{\rm{//}}CD\\\widehat D = \widehat C\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow ABCD\) là hình thang cân.

+ Tứ giác \(ABCD\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AB{\rm{//}}CD\\\widehat A = \widehat B\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow ABCD\) là hình thang cân.

+ Tứ giác \(ABCD\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AB{\rm{//}}CD\\AC = BD\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow ABCD\) là hình thang cân.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh và tính các góc của hình thang, hình thang vuông hình thang cân dựa vào tính chất hình.

Phương pháp:

Ta sử dụng các kiến thức:

+ Tính chất của hình thang, hình thang vuông, hình thang cân (ở trên)

+ Tổng bốn góc của một tứ giác bằng$360^\circ $ .

+ Góc ngoài của tứ giác là góc kề bù với một góc của tứ giác.

+ Hai góc kề một cạnh bên của hình thang bằng ${180^0}$ .

Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang vuông, hình thang cân

Phương pháp:

Ta sử dụng định nghĩa và các dấu hiệu nhận biết để chứng minh.

Ibaitap: Cùng ibaitap tìm hiểu về định nghĩa cũng như các tính chất, dấu hiệu nhận biết của hình thang.

Xem thêm:

‍

1. Định nghĩa 

Hình thang là hình tứ giác có hai cạnh đối của chúng song song với nhau.

Trong đó:

• Tứ giác ABCD có AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang.
• Hai cạnh AD, BC được gọi là hai cạnh bên hình thang.
• Hai cạnh AB, CB được gọi là hai đáy hình thang.
• Kẻ AH ⊥ CD (H ∈ CD), AH được gọi là một đường cao của hình thang.

2. Tính chất hình thang:

Tính chất về góc: 

Hai góc kề một cạnh bên của hình thang luôn có tổng bằng 180° (nằm ở vị trí trong cùng phía của hai đoạn thẳng song song là hai cạnh đáy)

Ví dụ bài tập: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có ∠A = 60°, ∠C = 100°. Tính số đo các góc còn lại của hình thang?

Lời giải tham khảo:

Hình thang ABCD có AB//CD nên ta có: 

*) ∠A + ∠D = 180° 

⇔ 60° + ∠D = 180°

⇔ ∠D = 180° - 60° = 120°.

Vậy ta có ∠D = 120°.

*) ∠B + ∠C = 180°

⇔  ∠B + 100° = 180°

⇔ ∠B = 180° - 100° = 80°.

Vậy ta có ∠B = 80°.

Tính chất về cạnh

Một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên của chúng sẽ song song và bằng nhau.

Một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên đó sẽ bằng nhau và hai cạnh đáy của chúng sẽ bằng nhau.

Đường trung bình của hình thang:

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng được nối giữa trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Tính chất: Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy hình thang và bằng một nửa tổng hai đáy đó.

Trong hình thang ABCD (AB//CD) có:

• ∠A + ∠D = ∠B + ∠C = 180°.
• AB // EF // CD.
• EF = (AB + CD) / 2.

Vậy tổng kết tính chất của hình thang gồm có tính chất về góc, tính chất về cạnh và đường trung bình của hình thang như sau:

• Hai góc kề một cạnh bên của hình thang luôn có tổng bằng 180° (nằm ở vị trí trong cùng phía của hai đoạn thẳng song song là hai cạnh đáy).
• Một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên của chúng sẽ song song và bằng nhau.
• Một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên đó sẽ bằng nhau và hai cạnh đáy của chúng sẽ bằng nhau.
• Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy hình thang và bằng một nửa tổng hai đáy đó.
  

3. Hình thang vuông

a) Định nghĩa và tính chất: 

Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. 

Tính chất: Hình thang vuông ABCD có:

∠A =∠D = 90° hay AD ⟂ AB, AD ⟂ DC

b) Dấu hiệu nhận biết: 

Tứ giác là hình thang có một góc vuông là hình thang vuông:

∠A =∠D = 90° hay AD ⟂ AB, AD ⟂ DC

4. Hình thang cân:

a) Định nghĩa và tính chất: 

Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề 1 cạnh đáy bằng nhau.

Tính chất: Hình thang cân ABCD có:

∠DAB =∠ABC với ∠ADC =∠BCD, AD = BC, AC = BD

b) Dấu hiệu nhận biết: 

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân khi và chỉ khi:

• Hình thang có hai góc kề 1 cạnh đáy bằng nhau.
• Hình thang có hai cạnh bên hình thang bằng nhau.
• Hình thang có hai đường chéo của chúng bằng nhau.

5. Dấu hiệu nhận biết

Dấu hiệu nhận biết hình thang chính là định nghĩa của hình thang hay: tứ giác có hai cạnh đối song song với nhau.

Ví dụ: Tứ giác ABCD có AB // CD ⇔ Tứ giác ABCD là hình thang.

Tổng hợp các dấu hiệu nhận biết hình thang là:

• Hình thang là hình tứ giác có hai cạnh đối song song với nhau.
• Tứ giác là hình thang có một góc vuông là hình thang vuông.
• Tứ giác là hình thang có hai góc kề 1 cạnh đáy bằng nhau thì là hình thang cân.
• Tứ giác là hình thang có hai cạnh bên hình thang bằng nhau thì là hình thang cân.
• Tứ giác là hình thang mà hai đường chéo của chúng bằng nhau thì là hình thang cân.