Hình chiếu song song của d lên mặt phẳng Oxz theo phương Delta có phương trình là

Dạng 3: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng [d] lên mặt phẳng [P].

• Viết phương trình mặt phẳng [Q] chứa d và vuông góc với [P]
• Hình chiếu cần tìm là giao điểm của hai mặt phẳng [P] và [Q].

Chú ý: Nếu d vuông góc với [P] thì hình chiếu của d lên [P] là điểm H chính là giao điểm của d với [P].

Ta viết phương trình đường thẳng  $\Delta $ khi biết VTPT và một điểm thuộc nó.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Trong không gian toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: $\left\{\begin{matrix}x-2z=0\\ 3x-2y+z-3\end{matrix}\right.$ trên mặt phẳng [P]: x - 2y + z + 5 = 0.

Bài giải:

Ta tìm mặt phẳng [Q] đi qua d có dạng: m.[x-2z] + n[3x-2y+z-3] = 0.

$\Leftrightarrow $ [m+3n]x - 2ny + [-2m + n]z - 3n = 0.

[Q] vuông góc với [P] $\Leftrightarrow $ 1.[m+3n] -2n[-2n] + 1.[-2m + n] = 0 $\Leftrightarrow $ -m + 8n = 0.

Chọn m = 8 thì n= 1 ta được phương trình mặ phẳng [Q] là: 11x - 2y - 15z - 3 = 0.

Vậy hình chiếu của d lên [P] có phương trình :  $\left\{\begin{matrix}11x - 2y - 15z - 3 = 0.\\ 3x-2y+z-3\end{matrix}\right.$

Bài tập 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{-2}$ lên mặt phẳng [P]: x -3y + z - 4 = 0.

Bài giải:

Gọi [Q] là mặt phẳng chứa đường thẳng [d] và vuông góc với [P].

Khi đó vecto pháp tuyến của [Q] là $\vec{n_{Q}}=[\vec{n_{P}},\vec{u_{d}}]=[-4;1;7]$

Ta có B[4;1;3] thuộc d nên B thuộc [Q]. Ta có phương trình mặt phẳng [Q] là : -4x + y + 7z - 6 = 0.

Hình chiếu của d lên [P] là đường thẳng $\Delta $ là giao của [P] và [Q].

Có: u_{\Delta }=[\vec{n_{P}},\vec{n_{Q}}]=[22;11;11]=11[2;1;1].

Mà C[0;\frac{1}{2};\frac{11}{2}] thuộc giao của [P] và [Q] do đó C thuộc $\Delta $.

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta $ là : $\frac{x-2}{2}=\frac{y-\frac{1}{2}}{1}=\frac{z-\frac{11}{2}}{1}$

Trắc nghiệm hình học 12 bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình đường Thẳng | Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\]. Tìm hình chiếu của d lên mặt phẳng là [Oxy]. A. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {y = - 1 - t}\\ {z = 0} \end{array}} \right.\] B. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 + 2t}\\ {y = - 1 + t}\\ {z = 0} \end{array}} \right.\] C. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1 + 2t}\\ {y = 1 + t}\\ {z = 0} \end{array}} \right.\]

D. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 - 2t}\\ {y = - 1 + t}\\ {z = 0} \end{array}} \right.\]

Phương trình mặt phẳng [Oxy] là z=0. Do đó \[d \cap [Oxy] = A[ - 3; - 3;0]\] [Cho z=0 thay vào đường thẳng d] Do d đi qua điểm M[1;-1;2]. Hình chiếu của M lên [Oxy] là M’[1;-1;0] [Cho z=0] \[\Rightarrow \overrightarrow {AM'} = [4;2;0]\] Ta có đường thẳng AM’ chính là hính chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng [Oxy]. Đường thẳng AM’ đi qua M’[1;-1;0] và nhận \[\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AM'} = [2;1;0]\] làm VTCP.

Phương trình đường thẳng AM’ là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 + 2t}\\ {y = - 1 + t}\\ {z = 0} \end{array}} \right.\].

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]

Quảng cáo

- Viết phương trình mặt phẳng [Q] chứa d’ và vuông góc với mặt phẳng [P]

- Hình chiếu cần tìm d = [P] ∩ [Q]

Ví dụ: 1

Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên [P] biết:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương

Mặt phẳng [ P] có vecto pháp tuyến là:

- Mặt phẳng [Q] chứa d’ và vuông góc với [P] có

1 điểm thuộc d’ cũng thuộc [Q] là: [1; 2; -1]

Phương trình mặt phẳng [Q] là:

1.[x – 1] + 0.[y - 2] – 1.[z + 1] = 0 hay x – z – 2 = 0

- Hình chiếu cần tìm d = [P] ∩ [Q]

Tọa độ của điểm M [x; y; z] thuộc d thỏa mãn:

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ: 2

Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của d trên [Oxy] biết :

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Mỗi điểm M [x; y; z] thuộc d có hình chiếu trên [Oxy] là điểm M’ [x; y; 0] thuộc d’ với d’ là hình chiếu của d trên [Oxy]

Vậy d’ có phương trình tham số là:

Chọn C.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

và mặt thẳng [P]: 3x+ 5y – z- 2= 0 . Gọi d’ là hình chiếu của d lên [P]. Phương trình tham số của d’ là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Gọi mặt phẳng [Q] chứa d và vuông góc với [P].

Đường thẳng d đi qua điểm B[ 12; 9; 1] và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến

=> Mặt phẳng [ Q] qua B[ 12; 9; 1] có vectơ pháp tuyến

=> Phương trình [Q]: - 8[ x- 12] + 7[ y- 9] + 11[z- 1] = 0

Hay – 8x + 7y + 11z + 22= 0

+ Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của [P] và [Q].

Tìm một điểm thuộc d’, bằng cách cho y= 0

Ta có hệ :

=> M[ 0; 0; - 2]∈ d

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm M[ 0; 0; - 2] và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của d’ là:

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A[ 1; 1; -2] và B[0; 2; -2]. Cho mặt phẳng [ P]: x+ y- 2z- 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng [ P]?

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng [ P] ta được :

1+ 1- 2.[-2] – 6 = 0 [ thỏa mãn].

Và 0+ 2- 2[ -2] – 6= 0 [ thỏa mãn] .

=> Hai điểm A và B cùng thuộc mặt phẳng [P].

Suy ra; mặt phẳng [P] chứa đường thẳng AB.

=> Hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng [P] là chính nó.

+ Đường thẳng AB: đi qua A[ 1; 1; -2] và nhận vecto

=> Phương trình AB:

Chọn C.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A[ -1; 2; 0] và B[ 0; 1; 1]. Mặt phẳng [P]: 3x+ y- z + 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng [ P]?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Gọi mặt phẳng [Q] chứa AB và vuông góc với [P].

Đường thẳng AB đi qua A[ -1; 2;0] và có vectơ chỉ phương

.

Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến

=> Mặt phẳng [ Q] qua A[ - 1; 2; 0] có vectơ pháp tuyến

chọn vecto

=> Phuong trình [Q]: 0[ x+ 1] + 1[ y- 2] + 1[ z- 0] = 0 Hay y+ z - 2= 0

+ Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của [P] và [Q]. Suy ra mỗi điểm M[ x; y; z] thuộc d thì thỏa mãn :

Tìm một điểm thuộc d, bằng cách cho x= 0

Ta có hệ:

=> M[ 0;-2; 4] ∈d

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm M[ 0; - 2; 4] và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của d’ là:

Chọn A.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P] đi qua ba điểm A[ 1; 0;0]; B[ 0; 1; 0] và C[ 0; 0;1]. Đường thẳng

. Gọi đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng [P]. Trong các điểm sau điểm nào thuộc Δ?

A. [ 1; 2; -1]

B. [ 2; - 3; - 2]

C. [- 1; 3; -1]

D. [ 0; - 1; 0]

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Phương trình mặt phẳng

hay x+ y+ z- 1= 0

+ Gọi [Q] là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng [P]

=> Mặt phẳng [Q] đi qua điểm B[0; 1; 0] thuộc d và nhận vecto

làm vecto pháp tuyến chọn

=> Phương trình mặt phẳng [ Q]: 1[x- 0] + 0[ y- 1] – 1[ z- 0] = 0

Hay [ Q]: x- z= 0

+ đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng [P] và [Q]. Do đó: với mỗi điểm M[x;y;z] thuộc Δ phải thỏa mãn:

Đặt x= t =>

=> Phương trình tham số của đường thẳng Δ:

+cho t= - 1 ta được điểm H[ -1;3; -1] thuộc đường thẳng Δ.

Chọn C

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

; mặt phẳng [P] đi qua H[1;1;1]và song song với mặt phẳng [ Q]: x-2y+ z- 2= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng [P]?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Mặt phẳng [ P] song song với mặt phẳng [ Q] nên phương trình mặt phẳng [ P] có dạng: x- 2y + z+ D= 0

Mà điểm H[ 1; 1; 1] thuộc [P] nên : 1- 2. 1+ 1+ D= 0 ⇔ D= 0

Vậy phương trình [P]: x- 2y + z= 0

+ Đường thẳng d đi qua M[1 ;2; 0] và có vecto chỉ phương

+ Gọi [ R] là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng [P].

=> [R] qua M[ 1; 2; 0] và có vecto pháp tuyến

=> Phương trình [ R]: 2[ x- 1] + 3[ y- 2] + 4[ z- 0] = 0 hay 2x + 3y+ 4z – 8= 0

+ Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng [P] và [ R]. Do đó; với mỗi điểm N[ x;y; z] thuộc đường thẳng Δ thỏa mãn:

Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y= 0; thay vào hệ phương trình trên ta được x= -4 và z= 4 => I[ - 4; 0; 4] thuộc Δ.

Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng Δ:

Chọn D.

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

và mặt phẳng [P]: 2x- y- z+ 4= 0. Gọi Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng [P]. Biết phương trình đường thẳng Δ có dạng: . Tính a+ b+ c?

A. 3

B. 2

C.– 4

D. 5

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua A[ -2; 1; 0] có vecto chỉ phương

Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến

.

+ Gọi [ Q] là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng [P]. Khi đó; mặt phẳng [Q] chứa A[ -2; 1; 0] và nhận vecto

=> Phương trình [ Q]: 1[ x+ 2] + 1[ y- 1] + 1[ z-0] = 0 hay x+ y+ z+ 2 = 0

+ Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng [ P] và [ Q]. Với mỗi điểm M[ x; y; z] thuộc Δ thỏa mãn hệ phương trình:

Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y= 0 thay vào hệ ta được x= - 2 và z= 0

=> Điểm B[ -2; 0; 0] thuộc Δ và Δ nhận vecto

làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng Δ:

=> a= 0; b= 0 và c= 3 nên a+ b+c= 3

Chọn A.

Câu 1:

Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên [P] biết:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương

Mặt phẳng [ P] có vecto pháp tuyến là:

- Mặt phẳng [Q] chứa d’ và vuông góc với [P] có

1 điểm thuộc d’ cũng thuộc [Q] là: [ 0; 0; -1]

Phương trình mặt phẳng [Q] là: 1.[x – 0] + 0.[y - 0] – 1.[z + 1] = 0 hay x – z – 1 = 0

- Hình chiếu cần tìm d = [P] ∩ [Q]

Tọa độ của điểm M [x; y; z] thuộc d thỏa mãn:

Vậy phương trình của d là:

Chọn B.

Câu 2:

Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của d trên [Oxz] biết :

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Mặt phẳng [Oxz]có phương trình y= 0.

Mỗi điểm M [x; y; z] thuộc d có hình chiếu trên [Oxz] là điểm M’ [x; 0; z] thuộc d’ với d’ là hình chiếu của d trên [Oxz]

Vậy d’ có phương trình tham số là d':

Chọn A.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

và mặt thẳng [P]: -3x+ y – z - 2= 0 . Gọi d’ là hình chiếu của d lên [P]. Phương trình tham số của d’ là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

+ Gọi mặt phẳng [Q] chứa d và vuông góc với [P].

Đường thẳng d đi qua điểm B[ 1;0; 1] và có vectơ chỉ phương

.

Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến

=> Mặt phẳng [ Q] qua B[ 1; 0; 1] có vectơ pháp tuyến

=> Phuong trình [Q]: 1[ x- 1] - 1[ y- 0] - 4[z- 1] = 0 hay x - y - 4z + 3= 0

+ Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của [P] và [Q].

Tìm một điểm thuộc d’, bằng cách cho z= 0

Ta có hệ:

=> M[1/2; 7/2;0] ∈d'

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của d’ là:

Chọn B.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A[- 2; 3; 0] và B[0; 3; 1]. Cho mặt phẳng [ P]: x+ 2y- 2z- 4= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng [ P]?

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hiển thị lời giải

+ Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng [ P] ta được :

- 2+ 2.3- 2.0 - 4= 0 [ thỏa mãn].

Và 0+ 2.3 – 2. 1- 4 = 0 [ thỏa mãn] .

=> Hai điểm A và B cùng thuộc mặt phẳng [P].

Suy ra; mặt phẳng [P] chứa đường thẳng AB.

=> Hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng [P] là chính nó.

+ Đường thẳng AB: đi qua A[- 2; 3; 0] và nhận vecto

=> Phương trình AB:

Chọn C.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A[ -2; - 1; - 3] và B[ 0; 1; -2]. Mặt phẳng [P]: x+ 2y- z + 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng [ P]?

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

+ Gọi mặt phẳng [Q] chứa AB và vuông góc với [P].

Đường thẳng AB đi qua B[ 0; 1; - 2] và có vectơ chỉ phương

.

Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến

=> Mặt phẳng [ Q] qua B[ 0; 1; -2] có vectơ pháp tuyến

.

=> Phuong trình [Q]: - 4[ x- 0] + 3[ y- 1] + 2[ z+ 2] = 0 Hay - 4x + 3y+ 2z + 1= 0

+ Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của [P] và [Q]. Suy ra mỗi điểm M[ x; y; z] thuộc d thì thỏa mãn :

Tìm một điểm thuộc d, bằng cách cho y= 1

Ta có hệ :

=> M[ 10; 1; 18] ∈d

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm [10; 1; 18] và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của d’ là:

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P] đi qua ba điểm A[ 2; 0;0]; B[ 0; -3; 0] và C[ 0; 0;-2]. Đường thẳng

. Gọi đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng [P]. Trong các vecto sau vecto nào là vecto chỉ phương của Δ?

A. [ 1; 2; -1]

B. [ 2; - 3; - 2]

C. [1; 3; -1]

D. [ 3; - 1; 0]

Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d đi qua I [1; 0; 0] có vecto chỉ phương

+ Phương trình mặt phẳng

hay 3x – 2y – 3z - 6= 0

+ Gọi [Q] là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng [P]

=> Mặt phẳng [Q] đi qua điểm I[1; 0 ;0] thuộc d và nhận vecto

làm vecto pháp tuyến chọn

=> Phương trình mặt phẳng [ Q]: 1[x- 1] + 0[ y- 0] + 1[ z- 0] = 0

Hay [ Q]: x+ z- 1= 0

+ đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng [P] và [Q]. Do đó; với mõi điểm M[x;y;z] thuộc Δ phải thỏa mãn:

Đặt x= t =>

=> Phương trình tham số của đường thẳng Δ:

Vậy một vec to chỉ phương của Δ là [ 1;3; - 1]

Chọn C

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

; mặt phẳng [P] gốc tọa độ và song song với mặt phẳng [ Q]: x+ y+ z- 3= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng [P]?

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

+ Mặt phẳng [ P] song song với mặt phẳng [ Q] nên phương trình mặt phẳng [ P] có dạng: x + y + z+ D= 0

Mà điểm O[0; 0; 0] thuộc [P] nên : 0+ 0+ 0+ D = 0 ⇔ D= 0. Vậy phương trình [P]: x+ y + z= 0

+ Đường thẳng d đi qua M[- 3;1; -2] và có vecto chỉ phương

+ Gọi [ R] là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng [P].

=> [R] qua M[- 3; 1; -2] và có vecto pháp tuyến

=> Phương trình [ R]: 2[ x+ 3] - 1[ y- 1] - 1[ z+ 2] = 0 hay 2x – y- z+ 5= 0

+ Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng [P] và [ R]. Do đó; với mỗi điểm N[ x;y; z] thuộc đường thẳng Δ thỏa mãn:

Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y= 0; thay vào hệ phương trình trên ta được

thuộc Δ.

Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng Δ:

và đường thẳng Δ không có phương trình chính tắc.

Chọn D.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

và mặt phẳng [P]: 2x – y + z+ 2= 0. Gọi Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng [P]. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ ?

A. [3; 6; 0]

B. [ 1; - 2; 0 ]

C. [ 6; 0; 12]

D. [0; 1; 2]

Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d đi qua A[ 0; - 2; - 3] có vecto chỉ phương

Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến

.

+ Gọi [ Q] là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng [P]. Khi đó; mặt phẳng [Q] chứa A[0; -2; - 3] và nhận vecto

làm vecto pháp tuyến

=> Phương trình [ Q]: - 2[ x- 0] + 1[ y+ 2] + 5[ z+ 3] = 0 hay – 2x + y+ 5z + 17 = 0

+ Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng [ P] và [ Q]. Với mỗi điểm M[ x; y; z] thuộc Δ thỏa mãn hệ phương trình:

=> Δ nhận vecto

làm vecto chỉ phương

=> đường thẳng Δ cũng nhận vecto [ 3; 6; 0] làm vecto chỉ phương

Chọn A.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp