Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại x 2 năm 2024
Trong toán học, hàm hợp và các bài toán về tìm cực trị khá phổ biến trên bài thi. Trong đó, dạng bài tìm cực trị hàm hợp là phổ biến nhất với mức độ bài toán đa dạng từ dễ đến khó. Để giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Hãy cùng Sforum khám phá định nghĩa và cách tìm cực trị hàm hợp trong nội dung bài viết này nhé. Show
Hàm hợp là gì?Hàm hợp là một phép toán nhận hai hàm số f và g, cho ra hàm số h với h(x) = g(f(x)). Trong phép toán này, hàm số f: X → Y và g: Y → Z được nhóm lại tạo thành một hàm mới. Sau khi hợp lại, ta biến x thuộc tập hợp X thành g(f(x)) thuộc tập hợp Z. Ký hiệu hàm hợp: g ∘ f: X → Z. Và được định nghĩa bởi (g ∘ f )(x) = g(f(x)), với mọi x thuộc X, đọc là “g của f”, “g hợp f” hoặc “g tròn f”. Tuy nhiên, với hàm hợp liên tục trên đoạn hay khoảng từ giá trị a đến b, thì đều tồn tại nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn/khoảng từ a đến b nêu trên. Định nghĩa hàm hợp theo cách dễ hiểu nhấtĐể dễ hiểu hơn, bạn có thể xem ví dụ minh họa sau: Chẳng hạn, cho f: R → R và g: R → R, trong đó: f(x) = 2x + 6 và g(x) = 5x
Cách tìm cực trị hàm hợp? Ví dụ minh họaĐể tìm cực trị của hàm hợp, bạn cần biết cách tính đạo hàm hàm hợp. Cụ thể cần nắm được công thức và tính chất sau: Thứ nhất: đạo hàm của hàm hợp: [f(g(x))]' = g'(x).f'(g(x)). Thứ hai: tính chất đổi dấu của biểu thức: Giải thích: Nếu x = a là nghiệm của phương trình f(x) = 0 thì có hai trường hợp sau:
Phương pháp giải bài toán tìm cực trị hàm hợpCách tìm cực trị của hàm hợp sẽ đi qua 3 bước. Với phương pháp này bạn có thể áp dụng với nhiều bài tập số khác nhau. Cụ thể các bước như sau: Để tìm cực trị của hàm số y = f(g(x)) ta làm như sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm hợp [f(g(x))]'. Bước 2: Giải phương trình [f(g(x))]' = 0. Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số và kết luận các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu). Bước 4: Kết luận về các điểm cực trị Phương pháp giải bài toán tìm cực trịVí dụ về hàm hợp và minh họa cách tìm cực trịVí dụ sau đây sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về phương pháp tính đạo hàm của hàm hợp. Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và bảng xét dấu của y = f'(x) như hình bên dưới. Hãy cho biết hàm số g(x) = f (x2 - 2x) có bao nhiêu điểm cực tiểu và đó là những điểm nào? Sau đây là cách giải từng bước chi tiết: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm hợp g'(x). Áp dụng công thức tính đọa hàm nêu trên ta có được" g'(x) = (x2 - 2x)' f'(x2 - 2x) = (2x - 2) f'(x2 - 2x) Bước 2: Giải phương trình g'(x) = (2x - 2) f'(x2 - 2x) = 0 g'(x) = 0 → (2x - 2) = 0 (1) hoặc f'(x2 - 2x) = 0 (2)
hoặc x2 - 2x = -2 → phương trình này vô nghiệm (không có nghiệm), hoặc x2 - 2x = 1 → x = 1√2 (nghiệm bội bậc chẵn), hoặc x2 - 2x = 3 → x = - 1 hoặc x = 3 (nghiệm đơn) Bước 3: Xây dựng bảng biến thiên để xác định điểm cực trị như sau. Xây dựng bảng biến thiên để xác định điểm cực tiểu của hàm sốBước 4: Kết luận: nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số có một cực tiểu, tại điểm x = 1 Bài viết này đã giúp bạn hiểu được cách tìm cực trị và hàm hợp là gì. Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp ích cho bạn, để lại bình luận nếu có thắc mắc nào nhé. Hãy theo dõi Sforum để cập nhật những kiến thức bổ ích nhất. Cực trị của hàm số là một trong những phần quan trọng thuộc kiến thức đại số ở cấp 3. Để giúp các bạn học sinh dễ dàng hơn trong việc nắm bắt và vận dụng kiến thức này. Monkey đã tổng hợp tất cả khái niệm và cách tìm cực trị của các dạng hàm số thường gặp ngay dưới dây. Cực trị của hàm số là gì?Cực trị của hàm số là giá trị khiến hàm số đổi chiều khi biến thiên. Xét theo hình học, cực trị của hàm số biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và ngược lại. Lưu ý: Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu KHÔNG PHẢI là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Các lý thuyết liên quan đến điểm cực trị của hàm sốĐịnh nghĩa về giá trị cực đại và giá trị cực tiểuGiả sử hàm số f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 ∈ K.
Một số lưu ý chung:
Các định lý về cực trị hàm sốĐịnh lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’(x0) = 0. Một số lưu ý chung:
Định lý 2: Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0. Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0. Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
Số điểm cực trị của hàm sốMỗi dạng hàm số có số điểm cực trị khác nhau, kết luận đưa ra có thể là: Không có điểm cực trị nào, có 1 điểm cực trị ở phương trình bậc 2, có 2 điểm cực trị ở phương trình bậc 3,... Lưu ý với các số điểm cực trị của hàm số:
Cách tìm điểm cực trị của hàm sốMỗi hàm số đều có một tính chất và cách tìm cực trị khác nhau. Ngay sau đây Monkey sẽ giới thiệu đến bạn cách xác định điểm cực trị của dạng hàm số thường gặp trong các đề thi. Tìm cực trị của hàm số bậc 2Hàm số bậc 2 có dạng: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 2ax + b.
Xác định điểm cực trị của hàm số bậc 3Hàm số bậc 3 có dạng: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 3ax2 + 2bx + c → Δ’ = b2 – 3ac.
Cách tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba:Ta có thể phân tích : y = f(x) = (Ax + B)f ‘(x) + Cx + D bằng cách chia đa thức f(x) cho đa thức f ‘(x). Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1 và x2 Ta có: f(x1) = (Ax1 + B)f ‘(x1) + Cx1 + D → f(x1) = Cx1 + D vì f ‘(x1) = 0 Tương tự: f(x2) = Cx2 + D vì f ‘(x2) = 0 Kết luận: Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = Cx + D Cách tính cực trị của hàm số bậc 4 (Hàm trùng phương)Hàm số trùng phương có dạng: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b) và y’ = 0 x = 0 2ax^2 + b = 0 x = 0 x62 = -b/2a.
Cách xác định cực trị của hàm số lượng giácPhương pháp tìm cực trị của hàm số lượng giác như sau:
Xác định điểm cực trị của hàm số logaritChúng ta cần phải thực hiện theo các bước sau:
GIÚP CON HỌC TOÁN KẾT HỢP VỚI TIẾNG ANH SIÊU TIẾT KIỆM CHỈ TRÊN MỘT APP MONKEY MATH. VỚI NỘI DUNG DẠY HỌC ĐA PHƯƠNG PHÁP GIÚP BÉ PHÁT TRIỂN TƯ DUY NÃO BỘ VÀ NGÔN NGỮ TOÀN DIỆN CHỈ VỚI KHOẢNG 2K/NGÀY. Các dạng bài tập tìm điểm cực trị hàm số thường gặpVì các bài toán về cực trị xuất hiện thường xuyên trong các đề thi THPT Quốc Gia hằng năm. Nắm bắt được tình hình chung, Monkey đã tổng hợp 3 dạng bài toán thường gặp liên quan đến cực trị của hàm số, giúp bạn có thể dễ dàng ôn luyện hơn. Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm sốCó 2 cách thức để giải dạng bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số, bạn có thể theo dõi ngay bên dưới đây. Cách 1:
Cách 2:
Ví dụ:Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2. Hướng dẫn giải: Tập xác định D = R. Tính y' = 6x^2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1. Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2. Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểmPhương pháp giải:Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0. Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước.
Ví dụ:Cho hàm số y = x^3 - 3mx^2 +(m^2 - 1)x + 2, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2. Hướng dẫn giải: Tập xác định D = R. Tính y'=3x^2 - 6mx + m^2 - 1; y'' = 6x - 6m. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 → ⇔ m = 1. Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm sốĐối với cực trị của hàm số bậc baCho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d, a ≠ 0. Khi đó, ta có: y' = 0 ⇔ 3ax^2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ'y' = b^2 - 3ac.
Đối với cực trị của hàm số bậc bốnCho hàm số: y = ax^4 + bx^2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C). Khi đó, ta có: y' = 4ax^3 + 2bx; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x^2 = -b/2a.
Ví dụ:Tìm m để hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu. Hướng dẫn giải: Ta có: y' = 3x2 + m → Hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y'= 0 có hai nghiệm phân biệt. Vậy m < 0. Một số bài tập tìm cực trị của hàm số tự luyệnĐáp án của các bài tập trên lần lượt là: 1A; 2D; 3A; 4A; 5A; 6A; 7D; 8D; 9D; 10B; 11C. Trên đây là tất cả các kiến thức về cực trị của hàm số mà Monkey muốn chia sẻ đến bạn đọc. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp ích cho bạn phần nào việc ôn tập cho các kỳ thi sắp tới. Xin được đồng hành cùng bạn! |