Giải bài tập toán lớp 9 bài 15 trang 51 năm 2024
Lời giải: +) Hàm số \(y = 2x\): Cho \(x=1 \Rightarrow y=2.1=2 \Rightarrow M(1; 2)\) Đồ thị hàm số trên là đường thẳng đi qua gốc \(O(0;0)\) và điểm \(M(1; 2)\). +) Hàm số \(y = 2x + 5\): Cho \(x=0 \Rightarrow y=2.0+5=0+5=5 \Rightarrow B(0; 5)\). Cho \(x=-2,5 \Rightarrow y=2.(-2,5)+5=-5+5=0 \) \(\Rightarrow E(-2,5; 0)\) Đồ thị hàm số trên là đường thẳng đi qua điểm \(B(0; 5)\) và \(E(-2,5; 0)\) +) Hàm số \(y = - \dfrac{2}{3}x\): Cho \(x=1 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{3}.1=-\dfrac{2}{3} \Rightarrow N {\left(1; -\dfrac{2}{3}\right)}\) Đồ thị hàm số trên là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\) và điểm \(N {\left(1; -\dfrac{2}{3}\right)}\) +) Hàm số \(y = - \dfrac{2}{3}x + 5\): Cho \(x=0 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{3}.0+5=0+5=5 \Rightarrow B(0; 5)\) Cho \(x=7,5 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{3}.7,5+5=-5 +5=0 \) \(\Rightarrow F(7,5; 0)\) Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm \(B(0; 5)\) và \(F(7,5; 0)\). Ta có hình vẽ sau:
+ Đồ thị của hàm số \(y = 2x\) song song với đồ thị hàm số \(y = 2x + 5\) \(\Rightarrow OC // AB\) + Đồ thị của hàm số \(y=-\dfrac{2}{3}x\) song song với đồ thị hàm số \(y=-\dfrac{2}{3}x+5\) \(\Rightarrow OA // BC\) Do đó tứ giác \(OABC\) là một hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). Bài 16 trang 51 SGK Toán lớp 9 tập 1 Câu hỏi:
Lời giải:
Cho \(x= 1 \Rightarrow y=1 \Rightarrow M(1; 1)\) \(\Rightarrow \) đồ thị hàm số \(y=x\) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\) và điểm \(M(1; 1)\). +) Hàm số \(y=2x+2\) Cho \(x=0 \Rightarrow y=2.0+2=2 \Rightarrow B(0; 2)\). Cho \(x=-1 \Rightarrow y=2.(-1)+2=-2+2=0 \Rightarrow (-1; 0)\) Đồ thị hàm số \(y=2x+2\) là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ là \(B(0; 2)\) và \((-1; 0)\). Đồ thị như hình bên.
Hoành độ giao điểm \(A\) là nghiệm của phương trình: \(x = 2x + 2\)\(\Leftrightarrow x -2x = 2\)\(\Leftrightarrow -x =2\) \(\Leftrightarrow x =-2\) Thay \(x=-2\) vào công thức hàm số \(y=x\), ta được: \(y=-2\) Vậy tọa độ cần tìm là: \(A(-2; -2)\).
Đường thẳng qua \(B(0; 2)\) song song với trục hoành có phương trình là \(y=2\) Vì điểm \(C\) thuộc đường thẳng \(y=2\) nên có tung độ là \(y=2\) Vì \(C\) cũng thuộc đường thẳng \(y=x\) nên \(x=y=2\) Vậy ta có tọa độ điểm \(C(2;2)\) +) Tính diện tích tam giác \(ABC\): Kẻ \(AE \bot BC\), ta có \(AE=2+2=4\) và \(BC=2\) Tam giác \(\Delta{ABC}\) có \(AE\) là đường cao ứng với cạnh \(BC\). Diện tích \(\Delta{ABC}\) là: \(S=\dfrac{1}{2}.AE.BC=\dfrac{1}{2}.4.2=4\) \((cm^2)\). Bài 17 trang 51 SGK Toán lớp 9 tập 1 Câu hỏi:
Phương pháp:
+) Cắt trục hoành tại điểm \(A(-\dfrac{b}{a}; \, 0).\) +) Cắt trục tung tại điểm \(B(0;b).\) Xác định tọa độ hai điểm \(A\) và \(B\) sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số \(y=ax+b \, \, (a\neq 0).\)
+) Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S_{\Delta{ABC}}=\dfrac{1}{2}.h.a\) trong đó: \(h\) là độ dài đường cao, \(a\) là độ dài cạnh ứng với đường cao. +) Định lí Py-ta-go trong tam giác vuông: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) khi đó: \(BC^2=AC^2+AC^2\) Lời giải:
+) Hàm số \(y=x+1\): Cho \(x=0 \Rightarrow y=0+1=1 \Rightarrow M(0; 1)\) Cho \(y=0 \Rightarrow 0=x+1 \Rightarrow x=-1 \Rightarrow P(-1; 0)\) Đồ thị hàm số \(y=x+1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(P(-1; 0)\) và \(M(0;1)\). +) Hàm số \(y=-x+3\) Cho \(x=0 \Rightarrow y=0+3 =3 \Rightarrow N(0; 3)\) Cho \(y=0 \Rightarrow 0=-x+3 \Rightarrow x=3 \Rightarrow Q(3; 0)\) Đồ thị hàm số \(y=-x+3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(Q(3; 0)\) và \(N(0; 3)\). Ta có hình vẽ sau: b) +) \(C\) là giao điểm của \(y=x+1\) và \(y=-x+3\) nên hoành độ của \(C\) là nghiệm của phương trình: \(x+1=-x+3\) \(\Leftrightarrow x+x=3-1\) \(\Leftrightarrow 2x=2\) \(\Leftrightarrow x=1\). Tung độ của \(C\) là: \(y=1+1=2\). Vậy \(C(1; 2)\). +) \(A\) là giao điểm của \(y=x+1\) và trục hoành \(Ox:\, y=0\) nên hoành độ của \(A\) là: \(x+1=0\) \(\Leftrightarrow x=-1\) Vậy \(A(-1; 0) \equiv P\). +) \(B\) là giao điểm của \(y=-x+3\) và trục hoành \(Ox:\, y=0\) nên hoành độ điểm \(B\) là: \(-x+3=0\) \(\Leftrightarrow -x+3=0\) \(\Leftrightarrow x=3\) Vậy \( B(3; 0) \equiv Q.\) c) Ta có: \(AB=3+1=4,\) +) Áp dụng định lí Py- ta-go, ta tính được: \(AC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt 8 =2\sqrt 2\) \(BC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt 8 =2\sqrt 2\) Do đó chu vi của tam giác \(ABC\) là: \(AB+BC+AC=4+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4+4\sqrt{2}(cm)\) +) Ta có: \(BC^2+AC^2=(2\sqrt 2)^2+(2\sqrt 2)^2\)\(=8+8=16=4^2=AB^2\) Nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\). (Định lí Pytago đảo) +) Diện tích của tam giác \(ABC\) là: \(S=\dfrac{1}{2}.AC.BC=\dfrac{1}{2}.2\sqrt 2.2\sqrt 2=4(cm^2)\) Bài 18 trang 52 SGK Toán lớp 9 tập 1 Câu hỏi:
Phương pháp:
* Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax+b,\ (a \ne 0)\): Đồ thị hàm số \(y=ax+b \, \, (a\neq 0)\) là đường thẳng: +) Cắt trục hoành tại điểm \(A(-\dfrac{b}{a}; \, 0).\) +) Cắt trục tung tại điểm \(B(0;b).\) Xác định tọa độ hai điểm \(A\) và \(B\) sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số \(y=ax+b \, \, (a\neq 0).\) Lời giải:
\(11 = 3.4 + b\) \(\Leftrightarrow 11=12+b\) \(\Leftrightarrow 11- 12 =b\) \(\Leftrightarrow b=-1\). Khi đó hàm số đã cho trở thành: \(y = 3x – 1\). + Cho \(x=0 \Rightarrow y=3.0 - 1=-1 \Rightarrow A(0; -1)\) Cho \( y=0 \Rightarrow 0=3.x - 1 \Rightarrow x=\dfrac{1}{3} \Rightarrow B{\left(\dfrac{1}{3}; 0 \right)}\) Do đó đồ thị hàm số \(y=3x+b\) là đường thẳng đi qua \(2\) điểm \(A(0;-1)\) và \(B\left( {\dfrac{1}{3};0} \right)\). Ta có hình vẽ sau:
\( 3= a.(-1) + 5 \) \(\Leftrightarrow 3 = -a +5\) \(\Leftrightarrow a = 5-3\) \(\Leftrightarrow a = 2\) Khi đó hàm số đã cho trở thành: \(y = 2x + 5\). + Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 2.0 +5=5 \Rightarrow A(0; 5)\) Cho \(y=0 \Rightarrow 0= 2. x +5 \Rightarrow x=\dfrac{-5}{2} \Rightarrow B {\left(-\dfrac{5}{2}; 0 \right)}\) Do đó đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm \(A(0; 5)\) và \(B \left( { - \dfrac{5}{2};0} \right)\). Bài 19 trang 52 SGK Toán lớp 9 tập 1 Câu hỏi: Đồ thị của hàm số \(y = \sqrt 3 x + \sqrt 3 \) được vẽ bằng compa và thước thẳng. Hãy tìm hiểu cách vẽ đó rồi nêu lại các bước thực hiện. Áp dụng: Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \sqrt 5 x + \sqrt 5 \) bằng compa và thước thẳng. Hướng dẫn. Tìm điểm trên trục tung có tung độ bằng \(\sqrt 5 \). Lời giải: + Vẽ đồ thị hàm số: \(y=\sqrt 3 x + \sqrt 3\) Cho \(x= 0 \Rightarrow y = \sqrt 3 . 0 + \sqrt 3 = \sqrt 3 \Rightarrow M(0; \sqrt 3)\). Cho \(y=0 \Rightarrow 0 = \sqrt 3 . x + \sqrt 3 \Rightarrow x= -1 \Rightarrow N(-1; 0)\). Đồ thị hàm số \(y=\sqrt 3 x + \sqrt 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(M(0; \sqrt 3)\) và \(N(-1; 0)\) + Ta đi xác định vị trí điểm \(M(0; \sqrt 3)\) trên trục tung: Bước \(1\): Xác định điểm \(A(1; 1)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Khi đó theo định lí Py-ta-go, ta có: \(OA^2=1^2+1^2=2 \Leftrightarrow OA =\sqrt 2\) Bước \(2\): Dùng compa vẽ cung tròn tâm \(O\) bán kính \(OA =\sqrt 2\). Cung tròn này cắt trục \(Ox\) tại vị trí \(C\) thì hoành độ của \(C\) là \(\sqrt 2\). Bước \(3\): Xác định điểm \(B( \sqrt 2; 1)\). Khi đó theo định lí Py-ta-go, ta có: \(OB^2=(\sqrt 2)^2+1^2=2+1=3 \Leftrightarrow OB =\sqrt 3\) Bước \(4\): Dùng compa vẽ cung tròn tâm \(O\) bán kính \(OB=\sqrt 3\). Khi đó cung tròn này cắt trục tung tại vị trí điểm có tung độ là \(\sqrt 3\). Ta xác định được điểm \(M(0; \sqrt 3)\). Bước \(5\): Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm \(M\) và \(N\) ta được đồ thị hàm số \(y=\sqrt 3 x + \sqrt 3\). + Áp dụng: Vẽ đồ thị hàm số \(y = \sqrt 5 x + \sqrt 5 \) (làm tương tự như trên) Cho \(x= 0 \Rightarrow y = \sqrt 5 . 0 + \sqrt 5 = \sqrt 5 \Rightarrow B(0; \sqrt 5)\). Cho \(x= -1 \Rightarrow y = \sqrt 5 . (-1) + \sqrt 5 = 0 \Rightarrow C(-1; 0)\). Đồ thị hàm số \(y=\sqrt 5 x + \sqrt 5\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(B(0; \sqrt 5)\) và \(C(-1; 0)\) Các bước vẽ: Bước \(1\): Xác định điểm \(A(2; 1)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có: \(OA^2=2^2+1^2=4+1=5 \Leftrightarrow OA = \sqrt 5\) Bước \(2\): Vẽ cung tròn tâm \(O\) bán kính \(OA=\sqrt 5\). Cung tròn này cắt trục \(Oy\) tại vị trí điểm \(B\) có tung độ là \(\sqrt 5\). Ta xác định được điểm \(B(0; \sqrt 5)\). Bước \(3\): Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm \(B(0; \sqrt 5)\) và \(C(-1; 0)\) ta được đồ thị của hàm số \(y = \sqrt 5 x + \sqrt 5 \). |