Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An SơnChuyên đề 2: Hàm số và các vấn đề liên quanBài 2. Cực trị của hàm sốA- Kiến thức nền tảng: 1. Định nghĩaCho hàm số y = f[x] xác định trên D, 0[ ; ] ; [ ; ]a b D x a b⊂ ∈.+] Nếu với mọi x thuộc [a;b], 0x x≠ luôn có 0[ ] [ ]f x f x< thì ta nói f[x] đạt cực đại tại 0x hay 0x là điểm cực đại của hàm số f[x], [ ]0f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số. Điểm0 0[ ; [ ]]A x f x được gọi là điểm cực đại của đồ thị.+] Nếu với mọi x thuộc [a;b], 0x x≠ luôn có 0[ ] [ ]f x f x> thì ta nói f[x] đạt cực đại tại 0x hay 0x là điểm cực tiểu của hàm số f[x], [ ]0f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số. Điểm0 0[ ; [ ]]A x f x được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị• Chú ý: - Điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.- Giá trị cực đại, cực tiểu được gọi là giá trị cực trị của hàm số- Hàm số có thể đạt cực đại, cực tiểu tại nhiều điểm nhưng cũng có thể không đạt cực đại, cựctiểu. - Giá trị cực đại, cực tiểu 0[ ]f xnói chung chỉ là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên [a;b] chưa chắc chắc đã là GTLN,NN của hàm số trên TXĐ. Do đó giá trị cực đại chưa chắc đã lớn hơn giá trị cực tiểu.2. Dấu hiệu nhận biếta] Dấu hiệu 1Cho hàm số [ ]y f x= có đạo hàm trên [a;b] chứa 0x[ f[x] có thể không có đạo hàm tại 0x]+] Nếu '[ ]f xđổi dấu từ [+] sang [-] khi x đi qua 0xthì hàm số đạt cực đại tại 0x+] Nếu '[ ]f xđổi dấu từ [-] sang [+] khi x đi qua 0xthì hàm số đạt cực tiểu tại 0xQuy tắc 1: Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số y = f[x]+ Tìm tập xác định+ Tính f’[x]+ Tìm các điểm là cho f’[x] = 0 hoặc không xác định.+ Lập BBT+ Kết luậnBài tập ví dụ: Bài 1. Tìm cực đại, cực tiểu của các hàm số sau: a] 3 22 3 1y x x= − + +b] 3 23 3 1y x x x= − + +c] 4 22 1y x x= − −d] 25 4 31 12 15 4 2xy x x x x= − − + + −e] 12 2xyx+=−f] 23 31x xyx+ +=+Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơng] 211y xx= − ++h] 22 2y x x= − +Bài 2. Tìm cực đại, cực tiểu của các hàm số sau: a] [ ]325y x x= −b] 22 1 2y x x= + − +c] 223 22 1x xyx x− +=+ −d] 2 22 5 4 5y x x x x= − + − +b] Dấu hiệu 2Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm cấp 2 trên [a;b]; 0[ ; ]x a b∈:+] Nếu 00'[ ] 0''[ ] 0f xf x= [ ]0' 0y x m= ⇒+] Sau đó thay m vào hàm số , khảo sát xem hàm số có đạt cực đại hoặc cực tiểu tại 0x x= hay không ? Sau đó kết luận. Ví dụ 1. Biện luận theo m số cực trị của hàm số: 3 2x [ 1] 2 3y m x mx m= + + + − +Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn Ví dụ 2. Cho hàm số: 3 2[ 2] [ 1] 3y x m x m x m= + − + + + − a. Tìm m để hàm số luôn có cđ, ctb. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại c = -1c. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0Dạng 2. Câu hỏi về hoành độ điểm cực đại, cực tiểu:Ví dụ 1. Cho hàm số y x m x x m3 23[ 1] 9= − + + −, với m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x x1 22− ≤.Ví dụ 2. Cho hàm số y x m x m x m3 2[1 2 ] [2 ] 2= + − + − + +, với m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x x1 213− >.Ví dụ 3. Cho hàm số y x mx mx3 2113= − + −, với m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x x1 28− ≥.Ví dụ 4. Cho hàm số y x m x m x3 21 1[ 1] 3[ 2]3 3= − − + − +, với m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x x1 22 1+ =.Ví dụ 5. Cho hàm số y x mx x3 24 3= + −.Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x x1 2, thỏa x x1 24= −.Ví dụ 6. Cho hàm số y x ax ax3 213 43= − − +[1] [a là tham số].Tìm a để hàm số [1] đạt cực trị tạix1,x2 phân biệt và thoả mãn điều kiện:x ax aaa x ax a221 22 22 12 922 9+ ++ =+ +[2]Ví dụ 7. Cho hàm số y x mx m x3 2 22 9 12 1= + + + [m là tham số].Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: CÑ CTx x2=.Ví dụ 8. Cho hàm số y m x x mx3 2[ 2] 3 5= + + + −, m là tham số. Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương.Ví dụ 9. Cho hàm số y x mx m x3 2 21 1[ 3]3 2= − + −[1], m là tham số.Tìm các giá trị của m để hàm số [1] có các điểm cực trị x x1 2, với x x1 20, 0> > và x x2 21 252+ =.Ví dụ 10. Cho hàm số y x m x m x m3 2[1 2 ] [2 ] 2= + − + − + + [m là tham số] [1].Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số [1] có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cựctiểu nhỏ hơn 1.Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An SơnVí dụ 11. Cho hàm số my x m x m x3 2[ 2] [ 1] 23= + − + − + [Cm].Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn x x1 21<