Đề bài - bài 5 trang 147 tài liệu dạy – học toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [O ; R] có AB là đường kính [AC < BC]. Đường thẳng song song với AC vẽ từ O cắt đường tròn [O] tại I [ A, C, I, B theo thứ tự].

a] Chứng minh rằng \[OI \bot BC\].

b] Tiếp tuyến với đường tròn [O] tại B cắt đường thẳng OI tại M. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của [O].

c] Kẻ CH vuông góc với AB tại H, gọi K là giao điểm của AM với CH. Chứng minh rằng K là trung điểm của CH.

Lời giải chi tiết

a] Do \[C\] thuộc đường tròn đường kính \[AB \Rightarrow \angle ACB = {90^0} \Rightarrow AC \bot BC\].

Mà \[OI//AC\,\left[ {gt} \right] \Rightarrow OI \bot BC\].

b] Vì \[OI//AC\,\,\left[ {gt} \right] \Rightarrow \angle MOC = \angle OCA\] [so le trong]; \[\angle MOB = \angle OAC\][đồng vị].

Mà \[\Delta OAC\] cân tại \[O\,\,\left[ {OA = OC} \right] \Rightarrow \angle OCA = \angle OAC\]

\[ \Rightarrow \angle MOC = \angle MOB\]

Xét \[\Delta OMC\] và \[\Delta OMB\] có:

\[\begin{array}{l}OB = OC = R\\\angle MOC = \angle MOB\,\,\left[ {cmt} \right]\\OM\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta OMC = \Delta OMB\,\,\left[ {c.g.c} \right]\\ \Rightarrow \angle OCM = \angle OBM = {90^0}\end{array}\]

\[ \Rightarrow MC \bot OC\] tại \[C\]. Mà \[OC\] là bán kính của \[\left[ O \right]\].

\[ \Rightarrow MC\] là tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\].

c] Kéo dài AN cắt BM tại N.

Ta có \[OI \bot BC\,\,\left[ {cmt} \right]\]\[ \Rightarrow OM \bot BC\].

Lại có \[AC \bot BC\,\,\left[ {cmt} \right] \Rightarrow AC//OM\] hay \[AN//BM\].

Xét tam giác ABN có:

\[O\] là trung điểm của \[AB\].

\[AN//OM\];

\[ \Rightarrow M\] là trung điểm của \[BN\] [tính chất đường trung bình của tam giác] \[ \Rightarrow BM = MN\].

Ta có: \[CH \bot AB;\,\,BN \bot AB \Rightarrow CH//BN\].

Áp dụng định lí Ta-let ta có: \[\dfrac{{KH}}{{BM}} = \dfrac{{AK}}{{AM}} = \dfrac{{KC}}{{MN}}\].

Mà \[BM = MN\,\,\left[ {cmt} \right]\] \[ \Rightarrow KH = AK\] \[ \Rightarrow K\] là trung điểm của \[AH\,\,\left[ {dpcm} \right]\].