Đề bài
Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng :
a] Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn.
b] HK < BC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông chứng minh 4 điểm \[B,\,\,C,\,\,H,\,\,K\] cùng thuộc một đường tròn.
+] Trong một đường tròn, mọi dây cung không đi qua tâm đều nhỏ hơn đường kính của đường tròn đó.
Lời giải chi tiết
Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\].
Xét tam giác vuông BHC có \[IH = \dfrac{1}{2}BC = IB = IC\,\,\left[ 1 \right]\] [trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy].
Xét tam giác vuông BKC có \[IK = \dfrac{1}{2}BC = IB = IC\,\,\left[ 1 \right]\] [trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy].
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow IH = IK = IB = IC \Rightarrow \] 4 điểm \[B,\,\,C,\,\,H,\,\,K\] cùng thuộc đường tròn tâm \[I\] đường kính \[BC\].
Xét đường tròn \[\left[ {I;\dfrac{{BC}}{2}} \right]\] ta có \[BC\] là đường kính, \[HK\] là dây cung không đi qua tâm.
Vậy \[HK < BC\].