Đề bài
Trên đường tròn tâm O chọn các điểm A, B, C sao cho sđ cung AB = sđ cung AC\[ = {120^o}\] [A nằm giữa B và C]. Đường đi qua trung điểm D, E lần lượt của hai cung AB và AC cắt các dây AB, AC lần lượt tại P và Q.
a] Chứng minh tam giác APQ là tam giác đều.
b] Chứng minh \[DP = \dfrac{1}{2}PQ = QE\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh tam giác APQ có hai góc bằng 600.
b] Chứng minh tam giác OAD đều, suy ra P là trung điểm của OD.
Chứng minh tương tự Q là trung điểm của OE.
Chứng minh OD = OE = PQ.
Lời giải chi tiết
a] D là trung điểm của cung và \[OD \bot AB\] tại P [đường thẳng đi qua điểm chính giữa của 1 dây thì vuông góc với dây căng cung ấy].
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \[\widehat {AOE} = \widehat {COE} = {60^0}\] và \[OE \bot AC\] tại Q.
Xét tứ giác OPAQ có: \[\widehat {OPA} + \widehat {OQA} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \] Tứ giác OPAQ là tứ giác nội tiếp [Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800]
\[ \Rightarrow \widehat {APQ} = \widehat {AOQ} = {60^0};\]\[\,\,\widehat {AQP} = \widehat {AOP} = {60^0}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau].
Xét tam giác APQ có: \[\widehat {APQ} = \widehat {AQP} = {60^0} \Rightarrow \Delta APQ\] là tam giác đều.
b] Xét tam giác OAD có \[OA = OD = R;\,\,\widehat {AOD} = {60^0}\] \[ \Rightarrow \Delta OAD\] đều.
\[ \Rightarrow \] Đường cao AP đồng thời là trung tuyến \[ \Rightarrow PD = \dfrac{1}{2}OD\].
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có \[QE = \dfrac{1}{2}OE\].
Mà \[OD = OE \Rightarrow PD = QE = \dfrac{1}{2}OD\].
Xét tam giác AOD và tam giác AQP có:
AD = AP; AO = AQ; \[\widehat {OAD} = \widehat {POQ} = {60^0}\].
\[ \Rightarrow \Delta AOD = \Delta AQP\,\,\left[ {c.g.c} \right]\] \[ \Rightarrow OD = PQ\].
Vậy \[PD = QE = \dfrac{1}{2}PQ\,\,\left[ {dpcm} \right]\].